A análise da partícula na caixa e do rotor rígido quântico se baseiam escrevendo
, que é idêntico para ambos os casos em três dimensões, i. e.,
onde
. Responda:
Uma vez que ambos operadores hamiltonianos medem momento, porque as soluções para a energia total (e também para os números quânticos de momento) são diferentes?
Uma vez que ambos operadores hamiltonianos medem momento, porque as soluções para a energia total (e também para os números quânticos de momento) são diferentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois sistemas quânticos: a partícula na caixa e o rotor rígido. Ambos usam o mesmo operador Hamiltoniano, que basicamente mede o momento da partícula. Mas, mesmo usando o mesmo operador, as soluções de energia total e os números quânticos de momento são diferentes. Vamos entender por quê!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador Hamiltoniano. Em mecânica quântica, o Hamiltoniano
representa a energia total do sistema. Para ambos os casos, a expressão é:
Aqui,
é o operador momento,
é a massa da partícula,
é a constante de Planck reduzida, e
é o operador laplaciano que envolve as derivadas segundas em relação às coordenadas espaciais.
Passo 3
Apesar de ambos os sistemas usarem esse Hamiltoniano, a diferença está nas condições de contorno e na geometria do espaço onde as partículas se movem.
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Partícula na Caixa: Imaginemos uma partícula confinada em uma “caixa” tridimensional com paredes rígidas. As condições de contorno exigem que a função de onda da partícula seja zero nas paredes da caixa. Isso leva a soluções de energia quantizadas com números quânticos associados aos modos de vibração da partícula dentro da caixa.
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Rotor Rígido: Agora, pense em um rotor rígido, como uma molécula diatômica girando no espaço. Aqui, a partícula pode se mover livremente em um espaço circular (sem paredes rígidas). As condições de contorno são diferentes: a função de onda deve ser periódica, já que o rotor pode girar indefinidamente. Isso resulta em diferentes soluções de energia e números quânticos, associados aos diferentes estados de rotação.
Passo 4
Além disso, a geometria dos espaços é diferente:
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Caixa: O espaço é limitado e tem bordas fixas, o que impõe quantização nos níveis de energia devido à restrição de movimento.
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Rotor: O espaço é mais “livre” (como a superfície de uma esfera para um rotor tridimensional), permitindo diferentes tipos de quantização relacionados aos modos de rotação.
Passo 5
Então, mesmo que os operadores Hamiltonianos pareçam iguais, o contexto físico e as restrições impostas ao sistema resultam em diferentes soluções para a energia total e os números quânticos. As condições de contorno e a geometria determinam como a energia é quantizada e quais são os estados possíveis do sistema.
Resposta
Mesmo usando o mesmo operador Hamiltoniano que mede o momento, as diferentes condições de contorno e a geometria dos sistemas (caixa versus rotor) fazem com que as soluções de energia e os números quânticos de momento sejam distintos para a partícula na caixa e para o rotor rígido.