Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
  1. sumn=1^infty (-1)^n2^n.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma série numérica para analisar se ela converge ou não. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n2^n
Vamos usar o estudo de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Série Alternada, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da nossa série. Ela tem a forma geral:
(-1)^n2^n
Aqui, faz a série alternar sinais positivo e negativo a cada termo, enquanto está crescendo exponencialmente no denominador.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma ou converge se:
  1. é decrescente: para todo .
  2. .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição:
  • Decrescente: Observamos que aumenta conforme aumenta, então diminui. Portanto, é uma sequência decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição:
limn to infty 12^n = 0
Isso é verdade porque, à medida que cresce, cresce muito rápido, tornando cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série:
sumn=1^infty (-1)^n2^n
converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = cos(x), c = pi / 4.
Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = (x - 1) / (x + 1).
Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = x / (1 + x^2).
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
9. ( ) A série numérica alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^p para p <= 1 é condicionalmente convergente.