Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
-
.
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é uma série numérica para analisar se ela converge ou não. A série é:
Vamos usar o estudo de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Série Alternada, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da nossa série. Ela tem a forma geral:
Aqui,
faz a série alternar sinais positivo e negativo a cada termo, enquanto
está crescendo exponencialmente no denominador.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
ou
converge se:
-
é decrescente: para todo . -
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição:
- Decrescente: Observamos que
aumenta conforme aumenta, então diminui. Portanto, é uma sequência decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição:
Isso é verdade porque, à medida que
cresce,
cresce muito rápido, tornando
cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série:
converge.
Resposta
A série
converge.
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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
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Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
9. ( ) A série numérica alternada para
é condicionalmente convergente.
9. ( ) A série numérica alternada