Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza! A questão pede para a gente usar a representação da série geométrica para encontrar uma série de potências para a função
. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma série geométrica e como transformar uma função em uma série de potências usando essa ideia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Podemos começar dividindo o numerador pelo denominador:
Passo 3
Agora, observamos que temos uma fração
. Para usar a série geométrica, queremos que isso se pareça com
, onde
é algo envolvendo
. Vamos manipular a expressão:
Passo 4
Agora, reconhecemos que
é a fórmula da série geométrica, que pode ser expandida como:
Essa série converge quando
, ou seja,
.
Passo 5
Voltando à nossa expressão para
:
Podemos simplificar isso escrevendo a série completa:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
O raio de convergência dessa série é
.
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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
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Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
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Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
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