Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = cos(x), c = pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno do ponto . Além disso, precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos, usando as derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Vamos ver as primeiras derivadas para identificar um padrão:





Observamos que as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos, formando um ciclo.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor usando a fórmula que vimos:
Substituindo os valores das derivadas que calculamos:
E assim por diante, seguindo o padrão das derivadas que se repetem a cada 4 termos.

Passo 5

Agora, vamos determinar para quais valores de essa série converge. Como é uma funç��o analítica em todo o domínio real (ou seja, ela é suave e contínua em todos os pontos), a série de Taylor que construímos também converge para qualquer valor de . Isso significa que a série é válida para todos os números reais.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é dada por
E essa série converge para todo valor de .

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Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = (x - 1) / (x + 1).
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = ln(3 + x), c = 0.
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
  1. sumn=1^infty (-1)^n2^n.
Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = x / (1 + x^2).