Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a série de Taylor ou Maclaurin para a função
em torno do ponto
. Além disso, precisamos descobrir para quais valores de
essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos, usando as derivadas da função em um ponto específico
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Vamos ver as primeiras derivadas para identificar um padrão:
Observamos que as derivadas começam a se repetir a cada 4 passos, formando um ciclo.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor usando a fórmula que vimos:
Substituindo os valores das derivadas que calculamos:
E assim por diante, seguindo o padrão das derivadas que se repetem a cada 4 termos.
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de
essa série converge. Como
é uma funç��o analítica em todo o domínio real (ou seja, ela é suave e contínua em todos os pontos), a série de Taylor que construímos também converge para qualquer valor de
. Isso significa que a série é válida para todos os números reais.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é dada por
E essa série converge para todo valor de
.
Exercícios relacionados
Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
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Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
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Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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