Um anel de carga uniforme
está localizado no plano
com centro na origem e raio
. Determine o campo elétrico ao longo do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um anel carregado de carga total $ +Q $, localizado no plano $ xy $ com centro na origem e raio $ R $. O objetivo é determinar o campo elétrico ao longo do eixo $ z $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o problema. Imagine um anel circular no plano $ xy $ com raio $ R $ e carga total $ +Q $ distribuída uniformemente. Queremos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo $ z $, que passa pela origem e é perpendicular ao plano do anel.
Passo 3
Vamos considerar um ponto no eixo $ z $ a uma distância $ z $ da origem. Precisamos calcular a contribuição do campo elétrico de cada elemento de carga $ dq $ do anel nesse ponto. Devido à simetria do anel, as componentes horizontais do campo elétrico (nos planos $ x $ e $ y $) vão se cancelar, deixando apenas a componente ao longo do eixo $ z $.
Passo 4
A expressão para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ em um ponto a distância $ r $ é dada por:
onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do espaço, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{r} $.
Passo 5
No nosso caso, a distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ ao ponto no eixo $ z $ é:
A componente vertical (ao longo de $ z $) do campo elétrico devido a $ dq $ é:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total ao longo do eixo $ z $, integramos $ dE_z $ sobre todo o anel:
Como a carga total é $ Q $, temos $ \int dq = Q $.
Passo 7
Substituindo $ \int dq = Q $ na expressão, chegamos a:
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo $ z $ é dado por: