Um anel de carga uniforme +Q está localizado no plano x y com centro na origem e raio R. Determine o campo elétrico ao longo do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um anel carregado de carga total $ +Q $, localizado no plano $ xy $ com centro na origem e raio $ R $. O objetivo é determinar o campo elétrico ao longo do eixo $ z $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. Imagine um anel circular no plano $ xy $ com raio $ R $ e carga total $ +Q $ distribuída uniformemente. Queremos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo $ z $, que passa pela origem e é perpendicular ao plano do anel.

Passo 3

Vamos considerar um ponto no eixo $ z $ a uma distância $ z $ da origem. Precisamos calcular a contribuição do campo elétrico de cada elemento de carga $ dq $ do anel nesse ponto. Devido à simetria do anel, as componentes horizontais do campo elétrico (nos planos $ x $ e $ y $) vão se cancelar, deixando apenas a componente ao longo do eixo $ z $.

Passo 4

A expressão para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ em um ponto a distância $ r $ é dada por:
dq
onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do espaço, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{r} $.

Passo 5

No nosso caso, a distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ ao ponto no eixo $ z $ é:
r
A componente vertical (ao longo de $ z $) do campo elétrico devido a $ dq $ é:
dq

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total ao longo do eixo $ z $, integramos $ dE_z $ sobre todo o anel:
z
Como a carga total é $ Q $, temos $ \int dq = Q $.

Passo 7

Substituindo $ \int dq = Q $ na expressão, chegamos a:
integral dq = Q

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo $ z $ é dado por:
z

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