Um cilindro infinito possui densidade volumétrica de carga rho
. Determine o campo elétrico em função da distância radial
do eixo.
Passo 1
Beleza! Temos um exercício de Eletrostática, mais especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por um cilindro infinito com densidade volumétrica de carga
. Vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a uma simetria cilíndrica para determinar o campo elétrico em função da distância radial
do eixo do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
Onde:
-
é o fluxo elétrico, -
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície, -
é a carga interna à superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como o cilindro é infinito e possui simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana também cilíndrica, coaxial com o cilindro carregado. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos equidistantes do eixo e será perpendicular à superfície lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Vamos definir a superfície gaussiana com raio
e comprimento
. O fluxo elétrico através dela será apenas pela superfície lateral, já que as extremidades cancelam (o campo é paralelo a elas). Então, o fluxo elétrico é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a carga interna
dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é
, então:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Observamos que
e
aparecem em ambos os lados e podem ser cancelados.
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico em função da distância radial
do eixo é: