Um cilindro infinito possui densidade volumétrica de carga rho =2 nC / m^wed>= 3. Determine o campo elétrico em função da distância radial r do eixo.

Passo 1

Beleza! Temos um exercício de Eletrostática, mais especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por um cilindro infinito com densidade volumétrica de carga rho = 2, nC/m^3. Vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a uma simetria cilíndrica para determinar o campo elétrico em função da distância radial r do eixo do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície. A fórmula é:
PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
Onde:
  • PhiE é o fluxo elétrico,
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento de área da superfície,
  • Qint é a carga interna à superfície,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o cilindro é infinito e possui simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana também cilíndrica, coaxial com o cilindro carregado. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico E terá a mesma magnitude em todos os pontos equidistantes do eixo e será perpendicular à superfície lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Vamos definir a superfície gaussiana com raio r e comprimento L. O fluxo elétrico através dela será apenas pela superfície lateral, já que as extremidades cancelam (o campo é paralelo a elas). Então, o fluxo elétrico é:
PhiE = E cdot (2pi r L)

Passo 5

Agora, precisamos calcular a carga interna Qint dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é rho = 2, nC/m^3, então:
Qint = rho cdot volume = rho cdot (pi r^2 L)

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi r L) = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0
Observamos que L e pi aparecem em ambos os lados e podem ser cancelados.

Passo 7

Resolvendo para E:
E = rho r2 varepsilon0

Resposta

O campo elétrico em função da distância radial r do eixo é:
E(r) = rho, r2, varepsilon0

Exercícios relacionados