O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a alpha rad / h. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio dee altura H, no instante que a sombra medir 30 % da aultura do prédio é
i. 910 H alpha
ii. 310 H alpha
iii. 109100 H alpha
iv. 9100 H alpha
v. 6100 H alpha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde o ângulo de elevação do sol está diminuindo a uma taxa de alpha rad/h. Queremos descobrir quão rápido a sombra de um prédio com altura H está mudando quando essa sombra é 30% da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar taxas relacionadas, que são uma parte da cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação do sol e o comprimento da sombra. Imagina o prédio formando um triângulo retângulo com o chão e a luz do sol. Se o ângulo de elevação for theta, então:
tan(theta) = aé
Aqui, S representa o comprimento da sombra.

Passo 3

Como queremos a taxa de variação da sombra em relação ao tempo ( dSdt), vamos derivar a equação em relação ao tempo t. A derivada de tan(theta) em relação a t é:
ddt[tan(theta)] = sec^2(theta) cdot dthetadt
E a derivada de HS em relação a t é:
ddt[HS] = -HS^2 cdot dSdt
Então, temos:
sec^2(theta) cdot dthetadt = -HS^2 cdot dSdt

Passo 4

Agora, vamos isolar dSdt:
dSdt = -HS^2 cdot sec^2(theta) cdot dthetadt1
Sabemos que dthetadt = -alpha (porque o ângulo está diminuindo). Então:
dSdt = H cdot sec^2(theta) cdot alphaS^2

Passo 5

Agora, precisamos expressar sec^2(theta) em termos de S. Sabemos que:
sec^2(theta) = 1 + tan^2(theta) = 1 + (HS)^2
Então, substituindo na equação:
dSdt = H cdot (1 + (HS)^2) cdot alphaS^2 = H cdot (S^2 + H^2)S^4 cdot alpha = H(S^2 + H^2)S^4 cdot alpha

Passo 6

Agora, vamos substituir S = 0,3H:
dSdt = H((0,3H)^2 + H^2)(0,3H)^4 cdot alpha = H(0,09H^2 + H^2)0,0081H^4 cdot alpha = H(1,09H^2)0,0081H^4 cdot alpha
Simplificando:
dSdt = 1,090,0081 cdot HH^2 cdot alpha = 1,090,0081 cdot 1H cdot alpha
Calculando 1,090,0081:
1,090,0081 approx 134,5679
Então:
dSdt approx 134,5679 cdot 1H cdot alpha
Mas isso não corresponde a nenhuma das opções. Vamos reavaliar nossos passos.

Passo 7

Percebi que houve um erro na derivação anterior. Vamos tentar uma abordagem mais direta.
Sabemos que:
tan(theta) = HS Rightarrow S = Htan(theta)
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
dSdt = -Htan^2(theta) cdot d(tan(theta))dt
E:
d(tan(theta))dt = sec^2(theta) cdot dthetadt = sec^2(theta) cdot (-alpha)
Substituindo:
dSdt = -Htan^2(theta) cdot (-alpha sec^2(theta)) = H alpha sec^2(theta)tan^2(theta)
Sabendo que sec^2(theta) = 1 + tan^2(theta), temos:
dSdt = H alpha (1 + tan^2(theta))tan^2(theta) = H alpha ( 1tan^2(theta) + 1 )
Quando S = 0,3H, tan(theta) = H0,3H = 103.
Então:
dSdt = H alpha ( 1(103)^2 + 1 ) = H alpha ( 9100 + 1 ) = H alpha ( 109100 )

Resposta

A rapidez com que a sombra está sendo projetada é 109100 H alpha. Portanto, a alternativa correta é a iii. 109100 H alpha.

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