O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a
. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio dee altura
, no instante que a sombra medir
da aultura do prédio é
i.
ii.
iii.
iv.
v.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde o ângulo de elevação do sol está diminuindo a uma taxa de
rad/h. Queremos descobrir quão rápido a sombra de um prédio com altura
está mudando quando essa sombra é 30% da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar taxas relacionadas, que são uma parte da cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação do sol e o comprimento da sombra. Imagina o prédio formando um triângulo retângulo com o chão e a luz do sol. Se o ângulo de elevação for
, então:
Aqui,
representa o comprimento da sombra.
Passo 3
Como queremos a taxa de variação da sombra em relação ao tempo (
), vamos derivar a equação em relação ao tempo
. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Sabemos que
(porque o ângulo está diminuindo). Então:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Passo 6
Agora, vamos substituir
:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Mas isso não corresponde a nenhuma das opções. Vamos reavaliar nossos passos.
Passo 7
Percebi que houve um erro na derivação anterior. Vamos tentar uma abordagem mais direta.
Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
E:
Substituindo:
Sabendo que
, temos:
Quando
,
.
Então:
Resposta
A rapidez com que a sombra está sendo projetada é
. Portanto, a alternativa correta é a iii.
.