O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a
. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura
, no instante que a sombra medir
da aultura do prédio é
i.
i.
Passo 1
Vamos lá! Temos um prédio com altura
e o sol está baixando no horizonte a uma taxa de
rad/h. A pergunta é: qual é a rapidez com que a sombra do prédio está se alongando exatamente quando a sombra tem
da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo relacionados às taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação do sol
, a altura do prédio
e o comprimento da sombra
. Quando o sol faz um ângulo
com o horizonte, podemos usar a tangente desse ângulo para relacionar
e
:
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação da sombra, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a equação acima em relação ao tempo
:
Sabendo que a derivada de
é
e que
(porque o ângulo está diminuindo), fica:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Mas precisamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos substituir
:
Simplificando:
Resposta
A rapidez com que a sombra está se alongando quando ela mede
da altura do prédio é
.