O ângulo de elevação do sol, no horizonte, está diminuindo a alpha rad / h. A rapidez com que a sombra é projetada por um prédio de altura H, no instante que a sombra medir 40 % da aultura do prédio é
i. 425 H alpha

Passo 1

Vamos lá! Temos um prédio com altura H e o sol está baixando no horizonte a uma taxa de alpha rad/h. A pergunta é: qual é a rapidez com que a sombra do prédio está se alongando exatamente quando a sombra tem 40% da altura do prédio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo relacionados às taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação do sol theta, a altura do prédio H e o comprimento da sombra x. Quando o sol faz um ângulo theta com o horizonte, podemos usar a tangente desse ângulo para relacionar H e x:
tan(theta) = Hx

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação da sombra, ou seja, dxdt. Para isso, vamos derivar a equação acima em relação ao tempo t:
ddt ( tan(theta) ) = ddt ( Hx )
Sabendo que a derivada de tan(theta) é sec^2(theta) cdot dthetadt e que dthetadt = -alpha (porque o ângulo está diminuindo), fica:
sec^2(theta) cdot (-alpha) = -Hx^2 cdot dxdt

Passo 4

Vamos resolver para dxdt:
dxdt = sec^2(theta) cdot alpha cdot x^2H
Mas precisamos expressar sec^2(theta) em termos de x e H. Sabemos que:
sec^2(theta) = 1 + tan^2(theta) = 1 + ( Hx )^2
Substituindo de volta:
dxdt = (1 + ( Hx )^2 ) cdot alpha cdot x^2H

Passo 5

Agora, vamos substituir x = 0,4H:
dxdt = (1 + ( H0,4H )^2 ) cdot alpha cdot (0,4H)^2H
Simplificando:
dxdt = (1 + ( 10,4 )^2 ) cdot alpha cdot 0,16H^2H = (1 + 6,25) cdot alpha cdot 0,16H^2H
dxdt = 7,25 cdot alpha cdot 0,16H^2H = 7,25 cdot 0,16 cdot H cdot alpha
dxdt = 1,16 cdot H cdot alpha

Resposta

A rapidez com que a sombra está se alongando quando ela mede 40% da altura do prédio é 2925 H alpha.

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