Usando adequadamente a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico,
, criado por uma carga puntiforme positiva,
, colocada na origem (e no vácuo), em um ponto a uma distância
da carga (e não no infinito).
Valor: 2,0
Valor: 2,0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico,
, gerado por uma carga pontual positiva,
, colocada na origem do espaço (no vácuo), em um ponto que está a uma distância
dessa carga. Então, a matéria que vamos utilizar aqui é a Lei de Gauss, que é fundamental na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de simetria. Precisamos entender como escolher uma superfície gaussiana adequada e aplicar a lei para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, a gente vai escolher uma superfície gaussiana que facilite os cálculos. Como a carga está no centro e é uma carga pontual, a simetria do problema é esférica. Então, a melhor escolha é uma esfera centrada na carga, com raio
. Isso porque, com essa escolha, o campo elétrico será o mesmo em todos os pontos da superfície da esfera e perpendicular a ela, simplificando bastante a aplicação da Lei de Gauss.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico,
, através da superfície gaussiana. O fluxo elétrico é dado por:
Como escolhemos uma esfera de raio
e o campo elétrico é radial e constante em magnitude nessa superfície, a equação simplifica para:
Aqui,
é a área da esfera.
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade do vácuo,
:
Então, igualando as duas expressões do fluxo elétrico:
Passo 5
Finalmente, vamos resolver para
, que é o campo elétrico que queremos encontrar:
Resposta
O campo elétrico,
, criado pela carga pontual
a uma distância
é dado por:
Onde
é um vetor unitário na direção radial afastando-se da carga.