Uma roda gigante de raio
está fixada com centro a
do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento o assento de Marià estava a
do sólo, com velocidade vertical
. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é
-
ii.
iii.
iv.
v.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
Então, temos aqui um exercício de cinemática circular, que faz parte da física. A situação envolve uma roda gigante com raio $ R $ cujo centro está a $ 2R $ do chão. Neste momento específico, o assento de Marià está a $ \frac{9}{4} R $ do chão e tem uma velocidade vertical de $ \alpha , m/min $. O que queremos descobrir é o tempo que a roda gigante leva para completar uma volta inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do assento de Marià. A roda gigante tem raio $ R $, e o centro está a $ 2R $ do chão. Quando o assento está a $ \frac{9}{4} R $ do chão, isso significa que ele está a uma altura acima do centro da roda. Vamos calcular essa altura.
A altura total do assento em relação ao centro da roda é:
O valor negativo indica que o assento está abaixo do nível do centro.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade vertical $ \alpha $ com o movimento circular. A velocidade vertical máxima em um movimento circular ocorre quando o assento está passando pelo ponto mais baixo ou mais alto da roda. Podemos usar a relação entre a velocidade angular $ \omega $ e a velocidade linear:
Mas como estamos lidando com a velocidade vertical, precisamos considerar a componente vertical da velocidade.
Passo 4
Sabemos que a velocidade vertical $ v_y $ está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde $ \theta $ é o ângulo em relação à posição vertical.
Neste caso, como o assento está a $ \frac{9}{4} R $ do chão, podemos encontrar o ângulo $ \theta $ correspondente.
Passo 5
Vamos encontrar o ângulo $ \theta $ usando a relação das alturas:
Resolvendo para $ \cos(\theta) $:
Passo 6
Agora que temos $ \cos(\theta) = -\frac{1}{4} $, podemos relacionar isso com a velocidade vertical:
Resolvendo para $ \omega $:
A velocidade angular $ \omega $ é negativa porque o assento está descendo.
Passo 7
Sabendo que o tempo para completar uma volta é o período $ T $, que está relacionado com a velocidade angular por:
Substituindo $ \omega $ na equação:
Resposta
A alternativa correta é a iii.