Uma roda gigante de raio R está fixada com centro a 2 R do solo. Enquanto se divertia com os movimentos da roda, num determinado momento o assento de Marià estava a 94 R do sólo, com velocidade vertical alpha m / min. Neste caso, pode-se deduzir que o tempo gasto para completar uma volta é
  1. pi raiz153 Ralpha
    ii. 8 pi raiz153 Ralpha
    iii. pi raiz152 Ralpha
    iv. 4 pi raiz153 Ralpha
    v. 3 pi raiz152 Ralpha

Passo 1

Então, temos aqui um exercício de cinemática circular, que faz parte da física. A situação envolve uma roda gigante com raio $ R $ cujo centro está a $ 2R $ do chão. Neste momento específico, o assento de Marià está a $ \frac{9}{4} R $ do chão e tem uma velocidade vertical de $ \alpha , m/min $. O que queremos descobrir é o tempo que a roda gigante leva para completar uma volta inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do assento de Marià. A roda gigante tem raio $ R $, e o centro está a $ 2R $ do chão. Quando o assento está a $ \frac{9}{4} R $ do chão, isso significa que ele está a uma altura acima do centro da roda. Vamos calcular essa altura.
A altura total do assento em relação ao centro da roda é:
R
O valor negativo indica que o assento está abaixo do nível do centro.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade vertical $ \alpha $ com o movimento circular. A velocidade vertical máxima em um movimento circular ocorre quando o assento está passando pelo ponto mais baixo ou mais alto da roda. Podemos usar a relação entre a velocidade angular $ \omega $ e a velocidade linear:
alpha
Mas como estamos lidando com a velocidade vertical, precisamos considerar a componente vertical da velocidade.

Passo 4

Sabemos que a velocidade vertical $ v_y $ está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
vy
Onde $ \theta $ é o ângulo em relação à posição vertical.
Neste caso, como o assento está a $ \frac{9}{4} R $ do chão, podemos encontrar o ângulo $ \theta $ correspondente.

Passo 5

Vamos encontrar o ângulo $ \theta $ usando a relação das alturas:
theta
Resolvendo para $ \cos(\theta) $:
94 R = 2R - R cos(theta)

Passo 6

Agora que temos $ \cos(\theta) = -\frac{1}{4} $, podemos relacionar isso com a velocidade vertical:
cos(theta) = -14
Resolvendo para $ \omega $:
alpha = omega R (-14)
A velocidade angular $ \omega $ é negativa porque o assento está descendo.

Passo 7

Sabendo que o tempo para completar uma volta é o período $ T $, que está relacionado com a velocidade angular por:
T
Substituindo $ \omega $ na equação:
T = 2pi|omega|

Resposta

A alternativa correta é a iii. pi raiz152 Ralpha

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