Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de cinemática onde precisamos encontrar o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória de uma partícula no tempo . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos ajudam a encontrar a inclinação da trajetória naquele instante.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta tangente à trajetória da partícula em um determinado ponto tem uma inclinação que pode ser calculada usando a derivada da posição em relação ao tempo. Se a posição da partícula é dada por e , então a derivada nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Para encontrar no instante , usamos a regra da cadeia:
Aqui, e são as velocidades nas direções y e x, respectivamente, no tempo .

Passo 4

Depois de calcular , o ângulo entre a reta tangente e o semieixo positivo x pode ser encontrado usando a função arco-tangente:
Isso nos dá o ângulo desejado.

Resposta

O ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória da partícula em é dado por:

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