Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para calcular a capacitância de um capacitor esférico. Isso está ligado ao conteúdo de eletrostática, especificamente sobre capacitância e campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Gauss, como ela ajuda a encontrar o campo elétrico em simetria esférica e a fórmula da capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo,
. Matematicamente:
No nosso caso, como estamos lidando com uma simetria esférica, vamos usar uma superfície gaussiana que também é uma esfera.
Passo 3
Vamos considerar um capacitor esférico formado por duas esferas concêntricas, uma de raio
e outra de raio
, onde
. A esfera interna tem carga
e a externa
. Queremos encontrar a capacitância
, que é definida como:
onde
é a diferença de potencial elétrico entre as duas esferas.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
usando a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
onde
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de potencial
entre as duas esferas. O potencial em uma distância
a partir da esfera interna é dado por:
A diferença de potencial entre
e
é:
Passo 6
Agora, usamos a definição de capacitância:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é: