Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para calcular a capacitância de um capacitor esférico. Isso está ligado ao conteúdo de eletrostática, especificamente sobre capacitância e campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Gauss, como ela ajuda a encontrar o campo elétrico em simetria esférica e a fórmula da capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo, oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 . Matematicamente:
No nosso caso, como estamos lidando com uma simetria esférica, vamos usar uma superfície gaussiana que também é uma esfera.

Passo 3

Vamos considerar um capacitor esférico formado por duas esferas concêntricas, uma de raio C = QV e outra de raio , onde . A esfera interna tem carga e a externa . Queremos encontrar a capacitância , que é definida como:
onde é a diferença de potencial elétrico entre as duas esferas.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 usando a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E = Q4pi varepsilon0 r^2 onde .
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V(r) = Q4pi varepsilon0 r entre as duas esferas. O potencial em uma distância V = V(R1) - V(R2) = Q4pi varepsilon0 R1 - Q4pi varepsilon0 R2 = Q4pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) a partir da esfera interna é dado por:
A diferença de potencial entre e é:

Passo 6

Agora, usamos a definição de capacitância:
C = QV = QQ4pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) = 4pi varepsilon01R1 - 1R2 = 4pi varepsilon0 cdot R1 R2R2 - R1

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4pi varepsilon0 cdot R1 R2R2 - R1

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