Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para calcular a capacitância de um capacitor esférico. Isso está ligado ao conteúdo de eletrostática, especificamente sobre capacitância e campo elétrico. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Gauss, como ela ajuda a encontrar o campo elétrico em simetria esférica e a fórmula da capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo, . Matematicamente:
No nosso caso, como estamos lidando com uma simetria esférica, vamos usar uma superfície gaussiana que também é uma esfera.

Passo 3

Vamos considerar um capacitor esférico formado por duas esferas concêntricas, uma de raio e outra de raio , onde . A esfera interna tem carga e a externa . Queremos encontrar a capacitância , que é definida como:
onde é a diferença de potencial elétrico entre as duas esferas.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio onde .
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre as duas esferas. O potencial em uma distância a partir da esfera interna é dado por:
A diferença de potencial entre e é:

Passo 6

Agora, usamos a definição de capacitância:

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:

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