Em um ano uma prefeitura apresentou um relatório de gastos públicos realizados pelo município o documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro, que o maior gasto mensal ocorreu no e que a prefeitura gastou 150 mil reais no mês de dezembro. A curva que modela esses gastos é a parábola y=T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e t(x), em milhar de real.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A prefeitura registrou os gastos de 12 meses, e eles seguem uma curva que é uma parábola. A gente sabe que em janeiro (mês 1) foram gastos 72 mil reais, em dezembro (mês 12) foram 150 mil reais, e o maior gasto mensal aconteceu em algum mês específico. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola que representa esses gastos, usando a matemática das parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral de uma parábola. Ela pode ser escrita assim:
Onde:
- $ y $ é o gasto em mil reais.
- $ x $ é o número do mês.
- $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que vamos descobrir.
Passo 3
Sabemos dois pontos que a parábola passa: em janeiro ($ x = 1 $, $ y = 72
x = 12 $, $ y = 150 $). Vamos usar esses pontos para montar duas equações.
Para janeiro:
Para dezembro:
Passo 4
Além disso, sabemos que a parábola tem um ponto máximo, que é o vértice. O vértice de uma parábola $ y = ax^2 + bx + c $ acontece no mês:
Vamos chamar esse mês de $ x_v
Então, no mês 6, o gasto é máximo. Para encontrar o gasto máximo, precisamos de mais uma equação ou assumir o valor do gasto nesse mês. Porém, como não temos essa informação, vamos considerar que o vértice está no centro entre janeiro e dezembro para simplificar, ou seja, no mês 6,5. Mas meses não podem ser meio, então vamos ajustar para mês 6 ou 7. Para facilitar, vamos assumir mês 6.
Passo 5
Sabendo que o vértice está em $ x_v = 6 $, podemos usar a fórmula do vértice:
Multiplicando ambos os lados por $ 2a $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ b = -12a $ nas duas equações que temos:
1ª equação:
2ª equação:
Agora, igualamos as duas expressões para $ c $:
Então:
E:
Resposta
A equação da parábola que modela os gastos é aproximadamente:
Isso significa que, para cada mês $ x $, os gastos podem ser calculados usando essa fórmula.