Em um ano uma prefeitura apresentou um relatório de gastos públicos realizados pelo município o documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro, que o maior gasto mensal ocorreu no e que a prefeitura gastou 150 mil reais no mês de dezembro. A curva que modela esses gastos é a parábola y=T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e t(x), em milhar de real.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A prefeitura registrou os gastos de 12 meses, e eles seguem uma curva que é uma parábola. A gente sabe que em janeiro (mês 1) foram gastos 72 mil reais, em dezembro (mês 12) foram 150 mil reais, e o maior gasto mensal aconteceu em algum mês específico. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola que representa esses gastos, usando a matemática das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral de uma parábola. Ela pode ser escrita assim:
y = ax^2 + bx + c
Onde:
- $ y $ é o gasto em mil reais.
- $ x $ é o número do mês.
- $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que vamos descobrir.

Passo 3

Sabemos dois pontos que a parábola passa: em janeiro ($ x = 1 $, $ y = 72 x = 1 x = 12 $, $ y = 150 $). Vamos usar esses pontos para montar duas equações.
Para janeiro:
y = 72
x = 12
Para dezembro:
y = 150
72 = a(1)^2 + b(1) + c

Passo 4

Além disso, sabemos que a parábola tem um ponto máximo, que é o vértice. O vértice de uma parábola $ y = ax^2 + bx + c $ acontece no mês:
y = ax^2 + bx + c
Vamos chamar esse mês de $ x_v xv = -b2a éááçãê x = 6 $).
Então, no mês 6, o gasto é máximo. Para encontrar o gasto máximo, precisamos de mais uma equação ou assumir o valor do gasto nesse mês. Porém, como não temos essa informação, vamos considerar que o vértice está no centro entre janeiro e dezembro para simplificar, ou seja, no mês 6,5. Mas meses não podem ser meio, então vamos ajustar para mês 6 ou 7. Para facilitar, vamos assumir mês 6.

Passo 5

Sabendo que o vértice está em $ x_v = 6 $, podemos usar a fórmula do vértice:
xv = 6
xv = -b2a
Multiplicando ambos os lados por $ 2a $:
6 = -b2a
2a

Passo 6

Agora, vamos substituir $ b = -12a $ nas duas equações que temos:
1ª equação:
b = -12a
72 = a + (-12a) + c
72 = -11a + c
2ª equação:
c = 72 + 11a
150 = 144a + 12(-12a) + c
150 = 144a - 144a + c
Agora, igualamos as duas expressões para $ c $:
150 = c
c
72 + 11a = 150
11a = 150 - 72
11a = 78
Então:
a = 7811
a approx 7,09
b = -12a
E:
b approx -12 times 7,09

Resposta

A equação da parábola que modela os gastos é aproximadamente:
y = 7,09x^2 - 85,09x + 150
Isso significa que, para cada mês $ x $, os gastos podem ser calculados usando essa fórmula.

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