As funções custo total e receita total, dadas em reais, para um determinado bem são, respectivamente: C=50.000+4009 e R=7009 onde 9 (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$ 60.000,00?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a quantidade de toneladas ($ q $) que deve ser produzida e vendida para que o lucro seja de R$ 60.000,00. Para isso, vamos usar conceitos de função de custo, função de receita e função de lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que a gente tem:
  • Custo Total ($ C $): $ C = 50.000 + 400q $
    Isso significa que o custo fixo é de R$ 50.000,00 e o custo variável é de R$ 400,00 por tonelada produzida.
  • Receita Total ($ R $): $ R = 700q $
    Aqui, a receita varia diretamente com a quantidade vendida, sendo R$ 700,00 por tonelada.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. A fórmula do lucro ($ L $) fica assim:
L
Queremos que o lucro seja de R$ 60.000,00. Então, substituindo na fórmula:
L = R - C

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
60.000 = 700q - 50.000 - 400q
60.000 = (700q - 400q) - 50.000
60.000 = 300q - 50.000

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo com $ q $:
q
60.000 + 50.000 = 300q

Passo 6

Para encontrar $ q $, dividimos os dois lados por 300:
q
q = 110.000300

Resposta

A quantidade aproximada que deve ser produzida e comercializada para obter um lucro de R$ 60.000,00 é de 367 toneladas.

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