Em um ano, o valor v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, indicados por t, é dado pela expressão v = 2t² - 20t + 60. Sabendo que o valor da ação é dado em reais (R$), faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos e determine a variação percentual do valor da ação após um.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema! A gente tem uma função que descreve o valor de uma ação ao longo de um ano, onde
t
representa os meses e v
é o valor em reais. A função é dada por:Então, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, que são importantes para entender como o valor da ação varia ao longo do tempo. Vamos esboçar o gráfico dessa função, identificar os principais pontos, como o ponto máximo ou mínimo, interceptações com os eixos, e por fim, calcular a variação percentual do valor da ação após um determinado período.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função quadrática $ v = 2t^2 - 20t + 60 $. Uma função quadrática tem a forma geral $ v = at^2 + bt + c $, e seu gráfico é uma parábola.
Como o coeficiente de $ t^2 $ é positivo (2), a parábola abre para cima. Isso significa que ela terá um ponto mínimo.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto onde a função atinge seu valor mínimo. A fórmula para a coordenada $ t $ do vértice é:
Aqui, $ a = 2 $ e $ b = -20 $. Substituindo:
Agora, substituímos $ t_v $ na função para encontrar $ v_v $:
Então, o vértice da parábola é $ (5, 10) $.
Passo 4
Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo $ t $ (onde $ v = 0 $):
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -10 $, e $ c = 30 $:
Como a raiz quadrada de um número negativo não é real, não há interceptação com o eixo $ t $.
Interceptação com o eixo $ v $ (onde $ t = 0 $):
Então, a interceptação com o eixo $ v $ é $ (0, 60) $.
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico com as informações que temos:
- A parábola abre para cima.
- Vértice em $ (5, 10) $ — o valor mínimo da ação é R$10 no 5º mês.
- Interceptação com o eixo $ v $ em $ (0, 60) $.
- Não há interceptação com o eixo $ t $.
O gráfico vai descer de R$60 no 0º mês até R$10 no 5º mês e depois subir novamente.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a variação percentual do valor da ação após um determinado período. Vamos assumir que “após um” significa após um ano, ou seja, 12 meses.
Primeiro, encontramos o valor da ação no 12º mês:
Agora, sabemos que no 0º mês o valor era R$60, e no 12º mês é R$108. A variação percentual é dada por:
Substituindo:
Resposta
Após um ano, o valor da ação variou 80% em relação ao valor inicial.