Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamento e sua altura h, em metros t segundos após o seu lançamento é dada pela função h(t) = -t² + 20t + 600. Esse foguete deve atingir um alvo que se encontra ao nível do solo h = 0. De altura o foguete foi lançado? Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento? Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que foi lançado e a altura dele em função do tempo é dada por $ h(t) = -t^2 + 20t + 600 $. O que isso significa? Bom, $ h(t) $ é a altura em metros e $ t $ é o tempo em segundos após o lançamento. Precisamos descobrir três coisas:
  1. De que altura o foguete foi lançado?
  2. Qual a altura do foguete 10 segundos depois do lançamento?
  3. Depois de quantos segundos o foguete vai atingir o alvo, que está no nível do solo (altura 0)?
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, que são aquelas que têm a forma $ ax^2 + bx + c $. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir de que altura o foguete foi lançado. Isso acontece no momento do lançamento, ou seja, quando $ t = 0 $.
Substituindo $ t = 0 $ na função da altura:
t = 0
Então, o foguete foi lançado de uma altura de 600 metros.

Passo 3

Agora, queremos saber qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamento. Para isso, substituímos $ t = 10 $ na função $ h(t) $:
t = 10
Então, após 10 segundos, o foguete está a 700 metros de altura.

Passo 4

Por último, vamos descobrir depois de quantos segundos o foguete vai atingir o alvo no solo, ou seja, quando $ h(t) = 0 $.
Temos a equação:
h(t) = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar $ t $. Primeiro, multiplicamos todos os termos por -1 para facilitar:
0 = -t^2 + 20t + 600
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara:
t
Onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -20 $
  • $ c = -600 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
t^2 - 20t - 600 = 0
Então:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Obtemos duas soluções:
a = 1
b = -20
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 $.
Então, o foguete vai atingir o alvo após aproximadamente 36.46 segundos.

Resposta

  1. O foguete foi lançado de uma altura de 600 metros.
  2. Após 10 segundos, a altura do foguete é de 700 metros.
  3. O foguete atingirá o alvo após aproximadamente 36,46 segundos.

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