Em um ano, o valor V, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, indicados por t, é dado pela expressão V=2t² - 20t + 60. Avalie as assertivas a seguir, quanto ao valor V:
I. A concavidade é voltada para baixo, pois, a>0.
II. A parábola não corta o eixo t quando V=0, o que faz com que não existam raízes reais.
III. O vértice da parábola é dado pelo ponto V = (5; -10). É correto o que se afirma em:
A)I, apenas.
B)II, apenas.
C)III, apenas.
D)II e III, apenas.
E)I, II, III.
I. A concavidade é voltada para baixo, pois, a>0.
II. A parábola não corta o eixo t quando V=0, o que faz com que não existam raízes reais.
III. O vértice da parábola é dado pelo ponto V = (5; -10). É correto o que se afirma em:
A)I, apenas.
B)II, apenas.
C)III, apenas.
D)II e III, apenas.
E)I, II, III.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função quadrática que representa o valor $ V $ de uma ação ao longo do tempo $ t $, dada por:
O conteúdo envolve conceitos de funções quadráticas, como concavidade, raízes reais e vértice da parábola. Para resolver, vamos avaliar cada uma das assertivas apresentadas.
Passo 2
Assertiva I: A concavidade é voltada para baixo, pois, $ a > 0 $.
Primeiro, precisamos entender o que determina a concavidade de uma parábola. Na função quadrática $ V = at^2 + bt + c $, o coeficiente $ a $ define a concavidade:
- Se $ a > 0 $, a concavidade é para cima.
- Se $ a < 0 $, a concavidade é para baixo.
No nosso caso, $ a = 2 $, que é maior que zero. Portanto, a concavidade é voltada para cima, não para baixo. A assertiva I está errada.
Passo 3
Assertiva II: A parábola não corta o eixo $ t $ quando $ V = 0 $, o que faz com que não existam raízes reais.
Para verificar se a parábola corta o eixo $ t $ (ou seja, se $ V = 0 $ tem soluções reais), vamos calcular o discriminante ($ \Delta $) da equação quadrática:
Substituindo os valores:
Como $ \Delta < 0 $, não existem raízes reais. Isso significa que a parábola não corta o eixo $ t $. A assertiva II está correta.
Passo 4
Assertiva III: O vértice da parábola é dado pelo ponto $ V = (5; -10) $.
O vértice da parábola $ V = at^2 + bt + c $ pode ser encontrado pelas fórmulas:
Calculando $ t_v $:
Agora, calculando $ V_v $:
Portanto, o vértice é $ (5; 10) $, não $ (5; -10) $. A assertiva III está errada.
Resposta
B) II, apenas.