ANOS DE CASAMENTO NÚMERO DE DIVÓRCIOS
0 vdash 6 2800
6 vdash 12 1400
12 vdash 18 600
18 vdash 24 150
24 vdash 30 50
(a) Qual a duração média dos casamentos? E a mediana?
(b) Encontre a variância e o desvio padrão da duração dos casamentos?
© Construa o histograma da distribuição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela que mostra quantos divórcios aconteceram em diferentes intervalos de anos de casamento. Nosso objetivo aqui é calcular algumas estatísticas sobre a duração desses casamentos: a média, a mediana, a variância, o desvio padrão e até mesmo montar um histograma para visualizar tudo isso. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de estatística básica, como calcular média e variância a partir de dados agrupados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da duração dos casamentos. A média é basicamente o valor médio que representa o conjunto de dados. Para dados agrupados em intervalos, usamos os pontos médios de cada classe multiplicados pela frequência (número de divórcios) de cada classe, somamos tudo e dividimos pelo total de divórcios.

Passo 3

Vamos identificar os pontos médios de cada intervalo de anos de casamento:
  • 0 a 6 anos: (0 + 6) / 2 = 3 anos
  • 6 a 12 anos: (6 + 12) / 2 = 9 anos
  • 12 a 18 anos: (12 + 18) / 2 = 15 anos
  • 18 a 24 anos: (18 + 24) / 2 = 21 anos
  • 24 a 30 anos: (24 + 30) / 2 = 27 anos

Passo 4

Agora, multiplicamos cada ponto médio pelo número de divórcios na respectiva classe:
  • 3 anos * 2800 = 8400
  • 9 anos * 1400 = 12600
  • 15 anos * 600 = 9000
  • 21 anos * 150 = 3150
  • 27 anos * 50 = 1350

Passo 5

Somamos todos esses produtos para obter o total ponderado:
8400 + 12600 + 9000 + 3150 + 1350 = 35500

Passo 6

Calculamos o total de divórcios somando todas as frequências:
2800 + 1400 + 600 + 150 + 50 = 5000

Passo 7

A média é o total ponderado dividido pelo total de divórcios:
Média = 355005000 = 7,1 anos é

Passo 8

Para encontrar a mediana, precisamos identificar o ponto que divide os divórcios em duas metades iguais. Como temos 5000 divórcios, a mediana estará no 2500º divórcio.

Passo 9

Vamos identificar em qual classe está o 2500º divórcio. Acumulando as frequências:
  • Até 6 anos: 2800 divórcios
Como 2500 está dentro da primeira classe (0-6 anos), usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times c
Onde:
  • = limite inferior da classe mediana = 0 anos
  • = total de divórcios = 5000
  • = frequência acumulada antes da classe mediana = 0
  • = frequência da classe mediana = 2800
  • = amplitude da classe = 6 anos

Passo 10

Substituindo os valores na fórmula:
Mediana = 0 + ( 2500 - 02800 ) times 6 approx 0 + (0,8929) times 6 approx 5,36 anos

Passo 11

Agora, vamos calcular a variância e o desvio padrão. A variância mede a dispersão dos dados em relação à média, e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Primeiro, calculamos a soma dos quadrados dos pontos médios multiplicados pelas frequências:
sum f x^2 = (2800 times 3^2) + (1400 times 9^2) + (600 times 15^2) + (150 times 21^2) + (50 times 27^2) = 2800 times 9 + 1400 times 81 + 600 times 225 + 150 times 441 + 50 times 729 = 25200 + 113400 + 135000 + 66150 + 36450 = 386700

Passo 12

A variância ( sigma^2 = sum f x^2N - (Média)^2 = 3867005000 - (7,1)^2 = 77,34 - 50,41 = 26,93 ) é dada por:
é

Passo 13

O desvio padrão ( sigma = raiz26,93 approx 5,19 anos ) é a raiz quadrada da variância:

Passo 14

Por fim, para o histograma, vamos representar graficamente as frequências de divórcios em cada intervalo de anos de casamento. Cada intervalo será uma barra cujo comprimento corresponde ao número de divórcios nessa faixa.

Resposta

a) A duração média dos casamentos é de 7,1 anos e a mediana é de aproximadamente 5,36 anos.
b) A variância da duração dos casamentos é 26,93 anos² e o desvio padrão é de aproximadamente 5,19 anos.
c) O histograma da distribuição apresenta cinco barras correspondentes aos intervalos de 0-6, 6-12, 12-18, 18-24 e 24-30 anos de casamento, com alturas de 2800, 1400, 600, 150 e 50 divórcios, respectivamente.

Exercícios relacionados