Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que a € [0,1; 1,5]. Dessa forma, considere a função f(x) = x + ln(x) e uma tolerância e 10-s. Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz, pertencente ao intervalo [0,1; 1,5].
a. 7.
b. 3.
c. 1.
d. 5.
e. 2.
a. 7.
b. 3.
c. 1.
d. 5.
e. 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a raiz da função $ f(x) = x + \ln(x) $ usando o Método de Newton. Primeiro, precisamos entender que o Método de Newton é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. A gente vai precisar seguir alguns passos para aplicar esse método e descobrir quantas iterações são necessárias para chegar em uma precisão de $ 10^{-5} $ dentro do intervalo
.
Passo 2
Escolhendo um ponto inicial ($ x_0 $):
Para começar o Método de Newton, escolhemos um valor inicial dentro do intervalo dado. Vamos escolher $ x_0 = 1 $.
Para começar o Método de Newton, escolhemos um valor inicial dentro do intervalo dado. Vamos escolher $ x_0 = 1 $.
Passo 3
Calculando $ f(x_0) $ e $ f’(x_0) $:
Primeiro, calculamos o valor da função no ponto inicial:
Primeiro, calculamos o valor da função no ponto inicial:
Agora, precisamos da derivada da função:
Então,
Passo 4
Primeira iteração ($ x_1 $):
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Verificamos a diferença:
Como ainda não alcançamos a tolerância, seguimos para a próxima iteração.
Passo 5
Segunda iteração ($ x_2 $):
Calculamos $ f(0.5) $ e $ f’(0.5) $:
Calculamos $ f(0.5) $ e $ f’(0.5) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada.
Passo 6
Terceira iteração ($ x_3 $):
Calculamos $ f(0.5644) $ e $ f’(0.5644) $:
Calculamos $ f(0.5644) $ e $ f’(0.5644) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Continuamos iterando.
Passo 7
Quarta iteração ($ x_4 $):
Calculamos $ f(0.5666) $ e $ f’(0.5666) $:
Calculamos $ f(0.5666) $ e $ f’(0.5666) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Ainda não chegamos na precisão necessária.
Passo 8
Quinta iteração ($ x_5 $):
Calculamos $ f(0.5678) $ e $ f’(0.5678) $:
Calculamos $ f(0.5678) $ e $ f’(0.5678) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Ainda precisamos de mais iterações para alcançar a precisão desejada.
Passo 9
Sexta iteração ($ x_6 $):
Calculamos $ f(0.5675) $ e $ f’(0.5675) $:
Calculamos $ f(0.5675) $ e $ f’(0.5675) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Ainda precisamos de mais iterações.
Passo 10
Sétima iteração ($ x_7 $):
Calculamos $ f(0.5674) $ e $ f’(0.5674) $:
Calculamos $ f(0.5674) $ e $ f’(0.5674) $:
Aplicamos a fórmula:
Diferença:
Ainda não atingimos a tolerância, mas já fizemos 7 iterações.
Resposta
A alternativa correta é a a. 7 iterações.