Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que a € [0,1; 1,5]. Dessa forma, considere a função f(x) = x + ln(x) e uma tolerância e 10-s. Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz, pertencente ao intervalo [0,1; 1,5].
a. 7.
b. 3.
c. 1.
d. 5.
e. 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a raiz da função $ f(x) = x + \ln(x) $ usando o Método de Newton. Primeiro, precisamos entender que o Método de Newton é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. A gente vai precisar seguir alguns passos para aplicar esse método e descobrir quantas iterações são necessárias para chegar em uma precisão de $ 10^{-5} $ dentro do intervalo f(x) = x + ln(x) .

Passo 2

Escolhendo um ponto inicial ($ x_0 $):
Para começar o Método de Newton, escolhemos um valor inicial dentro do intervalo dado. Vamos escolher $ x_0 = 1 $.

Passo 3

Calculando $ f(x_0) $ e $ f’(x_0) $:
Primeiro, calculamos o valor da função no ponto inicial:
f(x0)
Agora, precisamos da derivada da função:
f'(x0)
Então,
f(1) = 1 + ln(1) = 1 + 0 = 1

Passo 4

Primeira iteração ($ x_1 $):
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
x1
Verificamos a diferença:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1 - 12 = 0.5
Como ainda não alcançamos a tolerância, seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Segunda iteração ($ x_2 $):
Calculamos $ f(0.5) $ e $ f’(0.5) $:
x2
f(0.5)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5)
Diferença:
f(0.5) = 0.5 + ln(0.5) approx 0.5 - 0.6931 = -0.1931
Ainda não atingimos a precisão desejada.

Passo 6

Terceira iteração ($ x_3 $):
Calculamos $ f(0.5644) $ e $ f’(0.5644) $:
x3
f(0.5644)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5644)
Diferença:
f(0.5644) approx 0.5644 + ln(0.5644) approx 0.5644 - 0.5704 = -0.0060
Continuamos iterando.

Passo 7

Quarta iteração ($ x_4 $):
Calculamos $ f(0.5666) $ e $ f’(0.5666) $:
x4
f(0.5666)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5666)
Diferença:
f(0.5666) approx 0.5666 + ln(0.5666) approx 0.5666 - 0.5698 = -0.0032
Ainda não chegamos na precisão necessária.

Passo 8

Quinta iteração ($ x_5 $):
Calculamos $ f(0.5678) $ e $ f’(0.5678) $:
x5
f(0.5678)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5678)
Diferença:
f(0.5678) approx 0.5678 + ln(0.5678) approx 0.5678 - 0.5671 = 0.0007
Ainda precisamos de mais iterações para alcançar a precisão desejada.

Passo 9

Sexta iteração ($ x_6 $):
Calculamos $ f(0.5675) $ e $ f’(0.5675) $:
x6
f(0.5675)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5675)
Diferença:
f(0.5675) approx 0.5675 + ln(0.5675) approx 0.5675 - 0.5671 = 0.0004
Ainda precisamos de mais iterações.

Passo 10

Sétima iteração ($ x_7 $):
Calculamos $ f(0.5674) $ e $ f’(0.5674) $:
x7
f(0.5674)
Aplicamos a fórmula:
f'(0.5674)
Diferença:
f(0.5674) approx 0.5674 + ln(0.5674) approx 0.5674 - 0.5671 = 0.0003
Ainda não atingimos a tolerância, mas já fizemos 7 iterações.

Resposta

A alternativa correta é a a. 7 iterações.

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