Para aperfeiçoar a segurança durante o atendimento aos seus clientes, um banco utiliza a seguinte estratégia: ao receber a ligação, o atendente envia por mensagem de texto uma chave de segurança para o número de telefone registrado nos dados do cliente. Este, por sua vez, precisa confirmar essa chave ao atendimento, que assim prosseguirá com o atendimento. Essa chave é composta por dois ou mais algarismos distintos entre 1, 3, 5, 7 ou 9. Quantas chaves diferentes podem ser geradas por esse banco?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um banco que quer aumentar a segurança no atendimento aos clientes usando chaves de segurança. Essas chaves são formadas por dois ou mais números diferentes escolhidos entre os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. A pergunta é: quantas chaves diferentes esse banco pode gerar?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente permutação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos organizar esses números sem repetição.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quantos algarismos temos disponíveis para formar as chaves. Aqui, temos 5 números distintos: 1, 3, 5, 7 e 9.
Passo 3
Como as chaves têm dois ou mais algarismos, vamos calcular separadamente o número de combinações possíveis para chaves de 2, 3, 4 e 5 dígitos.
Passo 4
Para chaves de 2 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 2 a 2:
Então, temos 20 possibilidades para chaves de 2 dígitos.
Passo 5
Para chaves de 3 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 3 a 3:
Portanto, 60 possibilidades para chaves de 3 dígitos.
Passo 6
Para chaves de 4 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 4 a 4:
Assim, temos 120 possibilidades para chaves de 4 dígitos.
Passo 7
Finalmente, para chaves de 5 dígitos, usamos permutação de todos os 5 elementos:
Então, mais 120 possibilidades para chaves de 5 dígitos.
Passo 8
Agora, somamos todas as possibilidades encontradas para cada quantidade de dígitos:
Resposta
O banco pode gerar 320 chaves diferentes.