Para aperfeiçoar a segurança durante o atendimento aos seus clientes, um banco utiliza a seguinte estratégia: ao receber a ligação, o atendente envia por mensagem de texto uma chave de segurança para o número de telefone registrado nos dados do cliente. Este, por sua vez, precisa confirmar essa chave ao atendimento, que assim prosseguirá com o atendimento. Essa chave é composta por dois ou mais algarismos distintos entre 1, 3, 5, 7 ou 9. Quantas chaves diferentes podem ser geradas por esse banco?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um banco que quer aumentar a segurança no atendimento aos clientes usando chaves de segurança. Essas chaves são formadas por dois ou mais números diferentes escolhidos entre os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. A pergunta é: quantas chaves diferentes esse banco pode gerar?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente permutação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos organizar esses números sem repetição.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quantos algarismos temos disponíveis para formar as chaves. Aqui, temos 5 números distintos: 1, 3, 5, 7 e 9.

Passo 3

Como as chaves têm dois ou mais algarismos, vamos calcular separadamente o número de combinações possíveis para chaves de 2, 3, 4 e 5 dígitos.

Passo 4

Para chaves de 2 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 2 a 2:
P(5,2) = 5!(5-2)! = 5 times 4 times 3!3! = 5 times 4 = 20
Então, temos 20 possibilidades para chaves de 2 dígitos.

Passo 5

Para chaves de 3 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 3 a 3:
P(5,3) = 5!(5-3)! = 5 times 4 times 3 times 2!2! = 5 times 4 times 3 = 60
Portanto, 60 possibilidades para chaves de 3 dígitos.

Passo 6

Para chaves de 4 dígitos, usamos permutação de 5 elementos tomados 4 a 4:
P(5,4) = 5!(5-4)! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1!1! = 5 times 4 times 3 times 2 = 120
Assim, temos 120 possibilidades para chaves de 4 dígitos.

Passo 7

Finalmente, para chaves de 5 dígitos, usamos permutação de todos os 5 elementos:
P(5,5) = 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Então, mais 120 possibilidades para chaves de 5 dígitos.

Passo 8

Agora, somamos todas as possibilidades encontradas para cada quantidade de dígitos:
20 (2 dígitos) + 60 (3 dígitos) + 120 (4 dígitos) + 120 (5 dígitos) = 320 íííí

Resposta

O banco pode gerar 320 chaves diferentes.

Exercícios relacionados