Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de temperaturas na camada limite pode ser aproximada pela expressão
em que y é a distância normal à superfície e o número de Prandtl, , é uma propriedade adimensional do fluido. Se e , qual é o fluxo térmico na superfície?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida e quer a gente encontrar o fluxo térmico na superfície. A matéria envolvida aqui é a transferência de calor em camada limite, usando o número de Prandtl (Pr). Vamos precisar usar conceitos de diferença de temperatura, propriedades do fluido e derivadas para calcular o fluxo térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o número de Prandtl (Pr). Ele é uma propriedade adimensional que relaciona a difusividade de momentum com a difusividade térmica. A fórmula é:
Onde:
é a capacidade térmica a pressão constante,
é a viscosidade dinâmica,
é a condutividade térmica.
No nosso caso, o Prandtl é dado como 0,7.
Passo 3
O fluxo térmico na superfície, , pode ser calculado usando a derivada da temperatura em relação à distância normal à superfície (y) multiplicada pela condutividade térmica:
O sinal negativo indica que o fluxo vai de regiões de maior para menor temperatura.
Passo 4
Para encontrar em , precisamos da expressão da distribuição de temperatura na camada limite. Geralmente, essa expressão em soluções de similaridade tem a forma:
Onde é a variável de similaridade definida como , mas como no enunciado já temos , podemos simplificar.
Passo 5
Assumindo uma solução de similaridade para a temperatura, a derivada pode ser relacionada com a derivada de em relação a :
Sabemos que , mas como , onde é a viscosidade cinemática (), podemos relacionar os termos.
Passo 6
No ponto da superfície (), a derivada da temperatura pode ser simplificada considerando que é uma constante que depende da solução da camada limite. Para o escoamento sobre uma placa plana, essa derivada geralmente é proporcional a , mas sem uma expressão específica, vamos considerar que em seja uma constante .
Passo 7
Então, o fluxo térmico fica:
Mas como não temos valores específicos para e , precisamos usar as informações dadas para relacionar os termos.
Passo 8
Considerando a diferença de temperatura e que , podemos reescrever o fluxo térmico como:
Onde é a espessura da camada limite, que pode ser relacionada com através de .
Passo 9
Calculando :
Então:
Passo 10
Para finalizar, precisamos do valor da condutividade térmica . Se não for fornecida, assumimos que está implícita na relação com o número de Prandtl. Sabendo que , podemos rearranjar para encontrar . No entanto, sem valores específicos de e , não podemos calcular numericamente . Portanto, o fluxo térmico fica expresso em termos de :
Resposta
O fluxo térmico na superfície é aproximadamente , onde é a condutividade térmica do ar.