Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de temperaturas na camada limite pode ser aproximada pela expressão
em que y é a distância normal à superfície e o número de Prandtl, Pr=C p mu / k=0,7, é uma propriedade adimensional do fluido. Se Tinfty=400 K, Ts=300 K e uinfty / v=5000 m^-1, qual é o fluxo térmico na superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida e quer a gente encontrar o fluxo térmico na superfície. A matéria envolvida aqui é a transferência de calor em camada limite, usando o número de Prandtl (Pr). Vamos precisar usar conceitos de diferença de temperatura, propriedades do fluido e derivadas para calcular o fluxo térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número de Prandtl (Pr). Ele é uma propriedade adimensional que relaciona a difusividade de momentum com a difusividade térmica. A fórmula é:
Pr = Cp cdot muk
Onde:
  • é a capacidade térmica a pressão constante,
  • é a viscosidade dinâmica,
  • é a condutividade térmica.
No nosso caso, o Prandtl é dado como 0,7.

Passo 3

O fluxo térmico na superfície, q'' = -k dTdy |y=0 , pode ser calculado usando a derivada da temperatura em relação à distância normal à superfície (y) multiplicada pela condutividade térmica:
O sinal negativo indica que o fluxo vai de regiões de maior para menor temperatura.

Passo 4

Para encontrar theta(eta) = T - TsTinfty - Ts em , precisamos da expressão da distribuição de temperatura na camada limite. Geralmente, essa expressão em soluções de similaridade tem a forma:
Onde é a variável de similaridade definida como , mas como no enunciado já temos , podemos simplificar.

Passo 5

Assumindo uma solução de similaridade para a temperatura, a derivada dTdy = dthetadeta cdot detady pode ser relacionada com a derivada de em relação a :
Sabemos que , mas como , onde é a viscosidade cinemática ( ), podemos relacionar os termos.

Passo 6

No ponto da superfície ( ), a derivada da temperatura pode ser simplificada considerando que é uma constante que depende da solução da camada limite. Para o escoamento sobre uma placa plana, essa derivada geralmente é proporcional a , mas sem uma expressão específica, vamos considerar que em seja uma constante .

Passo 7

Então, o fluxo térmico fica:
q'' = -k cdot a cdot raizuinftynu x
Mas como não temos valores específicos para e , precisamos usar as informações dadas para relacionar os termos.

Passo 8

Considerando a diferença de temperatura q'' = -k cdot De e que , podemos reescrever o fluxo térmico como:
Onde é a espessura da camada limite, que pode ser relacionada com através de .

Passo 9

Calculando de:
q'' = -k cdot 1000,01414
Então:

Passo 10

Para finalizar, precisamos do valor da condutividade térmica q'' = -100 cdot k0,01414 approx -7070 cdot k , W/m^2 . Se não for fornecida, assumimos que está implícita na relação com o número de Prandtl. Sabendo que , podemos rearranjar para encontrar . No entanto, sem valores específicos de e , não podemos calcular numericamente . Portanto, o fluxo térmico fica expresso em termos de :

Resposta

O fluxo térmico na superfície é aproximadamente , onde é a condutividade térmica do ar.

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