No circuito que aparece ao lado, o capacitor está inicialmente descarregado com a chave aberta. Depois de um longo intervalo de tempo, a chave é aberta. Quanto tempo deve se passar para que a carga no capacitor diminua de 10 % de seu valor, se R1=R2=5 k Omega e C=1,0 mu F ?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um circuito com um capacitor que começa sem carga quando a chave está aberta. Após um longo tempo, a chave é aberta novamente, e queremos saber quanto tempo leva para a carga no capacitor diminuir 10% do seu valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como um capacitor descarrega em um circuito RC (resistor-capacitor) e usar as fórmulas relacionadas a esse processo.

Passo 2

Quando a chave é aberta, o capacitor começa a descarregar através dos resistores Req = R1 + R2 e Req = 5, kOmega + 5, kOmega = 10, kOmega . Primeiro, precisamos encontrar a resistência total no caminho da descarga. Como e estão em série, a resistência equivalente é a soma das duas resistências:
Substituindo os valores dados:

Passo 3

Agora, vamos calcular a constante de tempo tau = Req times C do circuito, que nos indica quanto tempo leva para o capacitor descarregar uma fração significativa de sua carga. A constante de tempo é dada por:
tau = 10, kOmega times 1,0, muF = 10 times 10^3, Omega times 1,0 times 10^-6, F = 0,01, s , ou , 10, ms
Substituindo os valores:

Passo 4

A carga no capacitor durante a descarga segue a equação exponencial:
Q(t) = Q0 times e^-ttau
Queremos que a carga diminua para 90% do valor inicial ( 0,9, Q0 = Q0 times e^-ttau ). Então, substituímos na equação:
0,9 = e^-ttau
Dividindo ambos os lados por ln(0,9) = -ttau implies t = -tau times ln(0,9) :
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Substituímos os valores de t = -10, ms times ln(0,9) e calculamos ln(0,9) approx -0,10536 :
t = -10, ms times (-0,10536) approx 1,05, ms
Calculando o valor de :
Então:

Resposta

O tempo necessário para que a carga no capacitor diminua 10 % é aproximadamente 1,05 milissegundos.

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