Aplicando as leis de Newton às oscilações de um contínuo meio, pode-se mostrar que a velocidade de uma onda sonora é dada por
cs=raizBrho
onde rho é a densidade do meio (massa por unidade de volume) e beta é o coeficiente de dilatação volumétrica, uma medida da rigidez do meio. Mais precisamente, se imaginarmos aplicando um aumento na pressão De a um pedaço do material, e este aumento resulta em uma mudança (negativa) no volume De, então beta é definido como a mudança de pressão dividida pela magnitude da mudança fracionária no volume
beta=De
Esta definição ainda é ambígua, no entanto, porque não diz se a compressão deve ocorrer isotermicamente ou adiabaticamente (ou de alguma outra forma)
c-) Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a velocidade do som em um gás ideal. O que a gente precisa fazer é derivar uma expressão para essa velocidade usando a temperatura e a massa molecular média do gás. Depois, comparar com a fórmula da velocidade quadrática média das moléculas e, por fim, calcular numericamente para o ar à temperatura ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e cinética dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som em um gás depende de como as moléculas do gás se movem e interagem. A fórmula geral para a velocidade do som em um meio é:
cs = raizBrho
Onde é o módulo de compressibilidade do gás e é a densidade.

Passo 3

No caso de um gás ideal, a compressibilidade está relacionada à pressão e à temperatura. Para um processo adiabático (sem troca de calor), o módulo de compressibilidade B = gamma P é dado por:
Aqui, é a razão dos calores específicos ( ) e é a pressão do gás.

Passo 4

A densidade rho = P muR T de um gás ideal pode ser expressa em termos da massa molecular média , pressão e temperatura usando a equação de estado dos gases ideais:
Onde é a constante dos gases.

Passo 5

Substituindo cs = raizgamma Prho = raizgamma PP muR T = raizgamma R Tmu e cs = raizgamma R Tmu na fórmula da velocidade do som, temos:
Então, a velocidade do som em um gás ideal é:

Passo 6

Agora, vamos comparar isso com a velocidade quadrática média ( vrms = raiz3 R Tmu ) das moléculas do gás, que é dada por:
Observamos que a velocidade do som está relacionada à velocidade das moléculas, mas multiplicada por .

Passo 7

Para calcular numericamente a velocidade do som no ar à temperatura ambiente (aproximadamente 300 K), vamos usar os seguintes valores:
  • cs = raiz1,4 times 8,314 times 3000,029 approx raiz3508,680,029 approx raiz121333,38 approx 348,3 , m/s (para ar)
  • Massa molar do ar
Substituindo na fórmula:

Resposta

A velocidade do som no ar à temperatura ambiente é aproximadamente .

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