Aplicando as leis de Newton às oscilações de um contínuo meio, pode-se mostrar que a velocidade de uma onda sonora é dada por
onde
é a densidade do meio (massa por unidade de volume) e
é o coeficiente de dilatação volumétrica, uma medida da rigidez do meio. Mais precisamente, se imaginarmos aplicando um aumento na pressão
a um pedaço do material, e este aumento resulta em uma mudança (negativa) no volume
, então
é definido como a mudança de pressão dividida pela magnitude da mudança fracionária no volume
Esta definição ainda é ambígua, no entanto, porque não diz se a compressão deve ocorrer isotermicamente ou adiabaticamente (ou de alguma outra forma)
c-) Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.
c-) Derive uma expressão para a velocidade do som em um gás ideal, em termos de sua temperatura e massa molecular média. Compare seu resultado com o fórmula para a velocidade rms das moléculas do gás. Avalie a velocidade do som numericamente para o ar à temperatura ambiente.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a velocidade do som em um gás ideal. O que a gente precisa fazer é derivar uma expressão para essa velocidade usando a temperatura e a massa molecular média do gás. Depois, comparar com a fórmula da velocidade quadrática média das moléculas e, por fim, calcular numericamente para o ar à temperatura ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e cinética dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som em um gás depende de como as moléculas do gás se movem e interagem. A fórmula geral para a velocidade do som em um meio é:
Onde
é o módulo de compressibilidade do gás e
é a densidade.
Passo 3
No caso de um gás ideal, a compressibilidade está relacionada à pressão e à temperatura. Para um processo adiabático (sem troca de calor), o módulo de compressibilidade
é dado por:
Aqui,
é a razão dos calores específicos (
) e
é a pressão do gás.
Passo 4
A densidade
de um gás ideal pode ser expressa em termos da massa molecular média
, pressão
e temperatura
usando a equação de estado dos gases ideais:
Onde
é a constante dos gases.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da velocidade do som, temos:
Então, a velocidade do som em um gás ideal é:
Passo 6
Agora, vamos comparar isso com a velocidade quadrática média (
) das moléculas do gás, que é dada por:
Observamos que a velocidade do som está relacionada à velocidade das moléculas, mas multiplicada por
.
Passo 7
Para calcular numericamente a velocidade do som no ar à temperatura ambiente (aproximadamente 300 K), vamos usar os seguintes valores:
-
(para ar) -
- Massa molar do ar
Substituindo na fórmula:
Resposta
A velocidade do som no ar à temperatura ambiente é aproximadamente
.