Se você fizer um buraco em um recipiente cheio de gás, o gás começará a vazar. Neste problema você fará uma estimativa aproximada da taxa na qual o gás escapa por um buraco. (Este processo é chamado de efusão, pelo menos quando o buraco é suficientemente pequeno.)
e-) O pneu da sua bicicleta tem um vazamento lento, de modo que fica vazio em cerca de uma hora depois de ser inflado. Qual é aproximadamente o tamanho do buraco? (Use qualquer estimativa para o volume do pneu.)

Passo 1

Vamos resolver um problema de física sobre vazamento de gás. A situação é a seguinte: o pneu da sua bicicleta está perdendo ar lentamente e fica vazio em cerca de uma hora após ser inflado. Precisamos estimar aproximadamente o tamanho do buraco que está causando esse vazamento. Para isso, vamos utilizar conceitos da Lei dos Gases Ideais e da efusão dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos estimar o volume do pneu da bicicleta. Vamos supor que o pneu seja aproximadamente esférico para facilitar os cálculos. Um pneu típico de bicicleta tem, por exemplo, um diâmetro de cerca de 70 centímetros (0,7 metros). O volume V = 43pi r^3 de uma esfera é dado pela fórmula:
r = 0,72 = 0,35 , metros
Onde V = 43 pi (0,35)^3 approx 43 pi (0,042875) approx 0,1796 , m^3 é o raio da esfera. Então, o raio é metade do diâmetro:
Calculando o volume:
Para facilitar, podemos arredondar para .

Passo 3

Agora, vamos considerar que o pneu está vazando para o ambiente através de um pequeno buraco. A taxa de vazamento dVdt = A raiz2kTm pode ser descrita pela equação de efusão:
Onde:
  • é a área do buraco,
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura absoluta (vamos considerar ),
  • é a massa molar do ar ( ).
No entanto, como queremos uma estimativa aproximada, podemos simplificar utilizando a Lei dos Gases Ideais e relacionar a taxa de vazamento ao tempo que o pneu leva para esvaziar.

Passo 4

Usaremos a relação da Lei dos Gases Ideais:
PV = nRT
Onde:
  • n = PVRT = 1 times 10^5 times 0,188,314 times 300 approx 180002494,2 approx 7,21 , mo<=s é a pressão (vamos assumir que está próxima à pressão atmosférica, ),
  • é o volume do pneu ( ),
  • é a quantidade de matéria (em moles),
  • é a constante dos gases ( ),
  • é a temperatura ( ).
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Sabemos que o pneu esvazia em 1 hora ( dndt = 7,213600 approx 0,002 , mo<=s/s ). A taxa de vazamento em moles por segundo é:

Passo 6

Agora, vamos relacionar a taxa de vazamento à área do buraco dndt = PAraiz2pi m R T . Usando a equação simplificada da efusão:
A = dndt raiz2pi m R TP
Rearranjando para encontrar A = 0,002 times raiz2 pi times 0,029 times 8,314 times 3001 times 10^5 :
2 pi times 0,029 times 8,314 times 300 approx 2 times 3,1416 times 0,029 times 8,314 times 300 approx 432,6
Substituindo os valores:
  • A = 0,002 times raiz432,61 times 10^5 approx 0,002 times 20,81 times 10^5 approx 0,04161 times 10^5 approx 4,16 times 10^-7 , m^2 ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Calculando:
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:

Resposta

O tamanho aproximado do buraco é de , ou seja, cerca de ô.

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