Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os pontos singulares da equação diferencial dada, que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para aplicar o método de Frobenius, precisamos identificar onde a equação tem pontos singulares. Vamos precisar entender o que são pontos singulares e como classificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os pontos singulares. Um ponto
é chamado de ponto singular se pelo menos um dos coeficientes
ou
não for analítico em
. Caso contrário, é um ponto ordinário.
Passo 4
Vamos analisar
e
:
-
é uma função polinomial, que é analítica em todo . -
pode ter problemas quando o denominador for zero, ou seja, quando .
Passo 5
Vamos resolver
para encontrar possíveis pontos singulares.
Testando valores:
-
Para
: Então,é uma solução. -
Verificando se há mais soluções:
A funçãocruza o eixo x apenas em quando analisamos o comportamento para outros valores de . Portanto, é o único ponto onde o denominador é zero.
Passo 6
Então, o único ponto singular é
. Agora, precisamos classificar esse ponto como regular ou irregular.
Para isso, verificamos se
e
são analíticos em
.
Calculando:
-
, que é analítico em . -
.
Expandindo o denominador em série de Taylor próximo a
:
Então,
Portanto,
Multiplicando por
:
Que é analítico em
.
Resposta
O ponto
é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
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… CALC A resistividade de um semicondutor pode ser alterada adicionando-se diferentes quantidades de impurezas. Uma barra de um semicondutor de comprimento
e seção reta com área
está ao longo do eixo
, entre
. O material obedece à lei de Ohm e sua resistividade varia ao longo da barra, de acordo com a relação
. A extremidade da barra para
está a um potencial
mais elevado que o potencial da extremidade
. (a) Calcule a resistência total da barra e a corrente que flui através dela. (b) Determine o módulo do campo elétrico
na barra em função de
. © Determine o potencial elétrico
na barra em função de
. (d) Faça um gráfico das funções
e
para valores de
compreendidos entre
.