Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja R, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+x y^prime+ye^x-1-x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os pontos singulares da equação diferencial dada, que é:
y'' + x y' + ye^x - 1 - x = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para aplicar o método de Frobenius, precisamos identificar onde a equação tem pontos singulares. Vamos precisar entender o que são pontos singulares e como classificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos singulares. Um ponto é chamado de ponto singular se pelo menos um dos coeficientes ou não for analítico em . Caso contrário, é um ponto ordinário.

Passo 4

Vamos analisar e :
  • é uma função polinomial, que é analítica em todo .
  • pode ter problemas quando o denominador for zero, ou seja, quando .

Passo 5

Vamos resolver e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 = 0 para encontrar possíveis pontos singulares.
Testando valores:
  • Para :
    Então, é uma solução.
  • Verificando se há mais soluções:
    A função cruza o eixo x apenas em quando analisamos o comportamento para outros valores de . Portanto, é o único ponto onde o denominador é zero.

Passo 6

Então, o único ponto singular é e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots . Agora, precisamos classificar esse ponto como regular ou irregular.
Para isso, verificamos se e^x - 1 - x = x^22 + x^36 + dots e Q(x) = 1x^22 + x^36 + dots approx 2x^2 são analíticos em x^2 cdot Q(x) approx x^2 cdot 2x^2 = 2 .
Calculando:
  • , que é analítico em .
  • .
Expandindo o denominador em série de Taylor próximo a :
Então,
Portanto,
Multiplicando por :
Que é analítico em .

Resposta

O ponto é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

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