Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos classificar os pontos singulares da equação diferencial
no domínio dos números reais
. Para isso, vamos utilizar o método de Frobenius, que ajuda a identificar se os pontos são singulares regulares ou irregulares. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais e analisar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação diferencial na forma canônica de segunda ordem:
Dividindo todos os termos da equação original por
, obtemos:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Um ponto
é considerado singular se os coeficientes
ou
tiverem singularidades em
. Vamos verificar onde isso ocorre na nossa equação.
Observamos que
não apresenta singularidades, já que é constante. No entanto,
apresenta uma singularidade em
, pois está no denominador e tende ao infinito quando
se aproxima de zero.
Passo 4
Agora, vamos classificar a singularidade em
. Para isso, utilizamos os seguintes critérios do método de Frobenius:
- Calculamos
. - Calculamos
.
Aplicando esses limites:
Como ambos os limites são finitos, a singularidade em
é classificada como regular.
Resposta
A equação diferencial possui um ponto singular em
, que é um ponto singular regular.
Exercícios relacionados
Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.
Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.
… CALC A resistividade de um semicondutor pode ser alterada adicionando-se diferentes quantidades de impurezas. Uma barra de um semicondutor de comprimento
e seção reta com área
está ao longo do eixo
, entre
. O material obedece à lei de Ohm e sua resistividade varia ao longo da barra, de acordo com a relação
. A extremidade da barra para
está a um potencial
mais elevado que o potencial da extremidade
. (a) Calcule a resistência total da barra e a corrente que flui através dela. (b) Determine o módulo do campo elétrico
na barra em função de
. © Determine o potencial elétrico
na barra em função de
. (d) Faça um gráfico das funções
e
para valores de
compreendidos entre
.
Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Preparam um recipiente térmico adiabático contendo
de gelo a
C e 120 latas com
de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio (
cada) e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de
C. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água.
Qual á quantidade de gelo que resta quando o sistema atinge o equilíbrio térmico? Justifique.
Qual á quantidade de gelo que resta quando o sistema atinge o equilíbrio térmico? Justifique.