Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja R, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
x^2 y^prime prime+x^3 / 2 y=0.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos classificar os pontos singulares da equação diferencial no domínio dos números reais . Para isso, vamos utilizar o método de Frobenius, que ajuda a identificar se os pontos são singulares regulares ou irregulares. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais e analisar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação diferencial na forma canônica de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Dividindo todos os termos da equação original por y'' + 0 cdot y' + x^3/2x^2 y = 0 , obtemos:
P(x) = 0 e Q(x) = x^-1/2
Assim, identificamos que:

Passo 3

Um ponto é considerado singular se os coeficientes ou tiverem singularidades em . Vamos verificar onde isso ocorre na nossa equação.
Observamos que não apresenta singularidades, já que é constante. No entanto, apresenta uma singularidade em , pois está no denominador e tende ao infinito quando se aproxima de zero.

Passo 4

Agora, vamos classificar a singularidade em limx to 0 x P(x) = limx to 0 x cdot 0 = 0 (finito) . Para isso, utilizamos os seguintes critérios do método de Frobenius:
  1. Calculamos limx to 0 x^2 Q(x) = limx to 0 x^2 cdot x^-1/2 = limx to 0 x^3/2 = 0 (finito) .
  2. Calculamos .
Aplicando esses limites:
Como ambos os limites são finitos, a singularidade em é classificada como regular.

Resposta

A equação diferencial possui um ponto singular em , que é um ponto singular regular.

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