Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos classificar os pontos singulares da equação diferencial
no domínio dos números reais
. Para isso, vamos utilizar o método de Frobenius, que ajuda a identificar se os pontos são singulares regulares ou irregulares. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais e analisar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação diferencial na forma canônica de segunda ordem:
Dividindo todos os termos da equação original por
, obtemos:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Um ponto
é considerado singular se os coeficientes
ou
tiverem singularidades em
. Vamos verificar onde isso ocorre na nossa equação.
Observamos que
não apresenta singularidades, já que é constante. No entanto,
apresenta uma singularidade em
, pois está no denominador e tende ao infinito quando
se aproxima de zero.
Passo 4
Agora, vamos classificar a singularidade em
. Para isso, utilizamos os seguintes critérios do método de Frobenius:
- Calculamos
. - Calculamos
.
Aplicando esses limites:
Como ambos os limites são finitos, a singularidade em
é classificada como regular.
Resposta
A equação diferencial possui um ponto singular em
, que é um ponto singular regular.