Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificação dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja , classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos classificar os pontos singulares da equação diferencial no domínio dos números reais . Para isso, vamos utilizar o método de Frobenius, que ajuda a identificar se os pontos são singulares regulares ou irregulares. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais e analisar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação diferencial na forma canônica de segunda ordem:
Dividindo todos os termos da equação original por , obtemos:
Assim, identificamos que:

Passo 3

Um ponto é considerado singular se os coeficientes ou tiverem singularidades em . Vamos verificar onde isso ocorre na nossa equação.
Observamos que não apresenta singularidades, já que é constante. No entanto, apresenta uma singularidade em , pois está no denominador e tende ao infinito quando se aproxima de zero.

Passo 4

Agora, vamos classificar a singularidade em . Para isso, utilizamos os seguintes critérios do método de Frobenius:
  1. Calculamos .
  2. Calculamos .
Aplicando esses limites:
Como ambos os limites são finitos, a singularidade em é classificada como regular.

Resposta

A equação diferencial possui um ponto singular em , que é um ponto singular regular.

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