… CALC A resistividade de um semicondutor pode ser alterada adicionando-se diferentes quantidades de impurezas. Uma barra de um semicondutor de comprimento L e seção reta com área A está ao longo do eixo x, entre x=0 e x=L. O material obedece à lei de Ohm e sua resistividade varia ao longo da barra, de acordo com a relação rho(x)=rho0 exp (-x / L). A extremidade da barra para x=0 está a um potencial V0 mais elevado que o potencial da extremidade x=L. (a) Calcule a resistência total da barra e a corrente que flui através dela. (b) Determine o módulo do campo elétrico E(x) na barra em função de x. © Determine o potencial elétrico V(x) na barra em função de x. (d) Faça um gráfico das funções rho(x), E(x) e V(x) para valores de x compreendidos entre x=0 e x=L.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra de semicondutor com resistividade que varia ao longo do comprimento dela. O conteúdo principal aqui envolve leis de Ohm, resistividade variável e campo elétrico. Para resolver, vamos precisar usar conceitos básicos de eletrostática e cálculo para integrar a resistividade ao longo da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência total da barra. Sabemos que a resistência R = integral0^L rho(x)A dx de um material é dada pela fórmula:
Aqui, e é a área da seção reta.

Passo 3

Vamos substituir R = integral0^L rho0 e^-x/LA dx = rho0A integral0^L e^-x/L dx na fórmula da resistência:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de integral e^-x/L dx = -L e^-x/L + C em relação a R = rho0A [ -L e^-L/L + L e^-0/L ] = rho0A ( -L e^-1 + L ) é:
Aplicando os limites de integração de 0 a :

Passo 5

Simplificando:
R = rho0 LA (1 - e^-1)
A resistência total da barra é, portanto, .

Passo 6

Agora, vamos calcular a corrente V = I R que flui através da barra usando a Lei de Ohm:
I = V0R = V0 Arho0 L (1 - e^-1)
Onde (diferença de potencial), então:

Resposta

A resistência total da barra é e a corrente que flui através dela é .

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