Aplique os métodos de substituição e integras por partes para calcular as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
Aqui, vamos utilizar duas técnicas de integração: substituição e integração por partes. Vamos precisar aplicar essas técnicas passo a passo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que o denominador pode ser reescrito usando identidades trigonométricas, mas mais diretamente, podemos aplicar a substituição.
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar em termos de :
Isso nos dá:

Passo 3

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando para a variável original , substituímos :

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida nos limites de a :
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso: , em ;
Determine a área da região compreendida entre a curva e o semieixo negativo .