Aplique os métodos de substituição e integras por partes para calcular as seguintes integrais definidas: integral0^pi / 4(1+cos (2 x))^-2 sen(2 x) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida:
integral0^pi / 4 sin(2x)(1 + cos(2x))^2 , dx
Aqui, vamos utilizar duas técnicas de integração: substituição e integração por partes. Vamos precisar aplicar essas técnicas passo a passo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que o denominador pode ser reescrito usando identidades trigonométricas, mas mais diretamente, podemos aplicar a substituição.
Vamos fazer a substituição:
u = 1 + cos(2x)
Agora, precisamos encontrar dudx = -2sin(2x) implies du = -2sin(2x),dx em termos de -12 du = sin(2x),dx :
Isso nos dá:

Passo 3

Substituindo integral0^pi / 4 sin(2x)(1 + cos(2x))^2 , dx = -12 integral 1u^2 , du e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar -12 integral u^-2 , du = -12 ( -u^-1 ) + C = 12u + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando para a variável original 12u = 12(1 + cos(2x)) , substituímos :

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida nos limites de 12(1 + cos(2x)) |0^pi/4 = 12(1 + cos(pi2)) - 12(1 + cos(0)) a = 12(1 + 0) - 12(1 + 1) = 12 - 14 = 14 :
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados