Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
, em
;
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área entre a curva
e o eixo
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Primeiro, precisamos ver onde a curva cruza o eixo
nesse intervalo.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos onde
, ou seja, resolver a equação
. Isso ajuda a identificar se a curva está acima ou abaixo do eixo
, o que é importante para calcular a área corretamente.
Passo 3
Resolvendo
:
Então,
ou
. Esses são os pontos onde a curva cruza o eixo
.
Passo 4
Agora que sabemos que a curva cruza o eixo
em
e
, vamos dividir o intervalo
em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo
:
- De
a : está acima do eixo . - De
a : está abaixo do eixo . - De
a : está acima do eixo .
Passo 5
A área entre a curva e o eixo
é dada pela integral de
no intervalo
. Como a função muda de sinal, precisamos separar a integral em partes onde
é positiva e negativa:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Avaliada de
a
:
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Avaliada de
a
:
Como a área não pode ser negativa, consideramos
.
Passo 9
Calculando a terceira integral:
Avaliada de
a
:
Passo 10
Somando todas as áreas:
Resposta
A área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo de
a
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Aplique os métodos de substituição e integras por partes para calcular as seguintes integrais definidas:
Exercício do livro
Determine a área da região compreendida entre a curva
e o semieixo negativo
.
Determine uma primitiva da função.