Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso: , em ;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre a curva e o eixo no intervalo de a . Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Primeiro, precisamos ver onde a curva cruza o eixo nesse intervalo.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos onde , ou seja, resolver a equação . Isso ajuda a identificar se a curva está acima ou abaixo do eixo , o que é importante para calcular a área corretamente.

Passo 3

Resolvendo :
Então, ou . Esses são os pontos onde a curva cruza o eixo .

Passo 4

Agora que sabemos que a curva cruza o eixo em e , vamos dividir o intervalo em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo :
  • De a : está acima do eixo .
  • De a : está abaixo do eixo .
  • De a : está acima do eixo .

Passo 5

A área entre a curva e o eixo é dada pela integral de no intervalo . Como a função muda de sinal, precisamos separar a integral em partes onde é positiva e negativa:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Avaliada de a :

Passo 8

Calculando a segunda integral:
Avaliada de a :
Como a área não pode ser negativa, consideramos .

Passo 9

Calculando a terceira integral:
Avaliada de a :

Passo 10

Somando todas as áreas:

Resposta

A área delimitada pela curva e o eixo no intervalo de a é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Aplique os métodos de substituição e integras por partes para calcular as seguintes integrais definidas:
Exercício do livro
Determine a área da região compreendida entre a curva e o semieixo negativo .
Determine uma primitiva da função.