Determine a área da região compreendida entre a curva
e o semieixo negativo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está entre a curva
e o semieixo negativo dos
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva
intercepta o semieixo negativo dos
, ou seja, onde
e
.
Igualando a curva a zero:
Isso ocorre quando:
Passo 3
Agora sabemos que os pontos de interseção estão em
e
. Portanto, a área que queremos calcular está entre esses dois valores de
.
Passo 4
Para encontrar a área, vamos calcular a integral definida da função
de
até
:
Passo 5
Vamos resolver esta integral usando uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Expressando
em termos de
:
Substituindo na integral:
Então, substituindo tudo:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Voltando para
:
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão da área:
Para simplificar, vamos colocar as frações com denominador comum:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
, em
;
Aplique os métodos de substituição e integras por partes para calcular as seguintes integrais definidas:
Determine uma primitiva da função.
Determine a primitiva mais geral da função.