Determine a área da região compreendida entre a curva e o semieixo negativo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região que está entre a curva e o semieixo negativo dos . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva intercepta o semieixo negativo dos , ou seja, onde e .
Igualando a curva a zero:
Isso ocorre quando:

Passo 3

Agora sabemos que os pontos de interseção estão em e . Portanto, a área que queremos calcular está entre esses dois valores de .

Passo 4

Para encontrar a área, vamos calcular a integral definida da função de até :

Passo 5

Vamos resolver esta integral usando uma substituição. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Expressando em termos de :
Substituindo na integral:
Então, substituindo tudo:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 8

Voltando para :
Agora, vamos avaliar a integral definida de a :
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão da área:
Para simplificar, vamos colocar as frações com denominador comum:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é .

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Determine uma primitiva da função.
Determine a primitiva mais geral da função.