Aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=0^infty 7(2 k+5)^k

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado. Queremos aplicar o Teste da Raíz para determinar se a série infinita converge, diverge ou se o teste não fornece uma informação conclusiva. Para resolver isso, precisamos entender o que é o Teste da Raíz e como aplicá-lo a séries.

Passo 2

O Teste da Raíz é uma ferramenta usada para verificar a convergência de séries infinitas da forma L = limk to infty raiz[k]|ak| . Ele envolve calcular o limite:
L = limk to infty raiz[k]| 7(2k + 5)^k | = limk to infty raiz[k]72k + 5
Dependendo do valor de L = limk to infty 12k + 5 = 0 , temos:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é . Vamos calcular :
Sabemos que tende a 1 conforme cresce, e tende ao infinito. Portanto:

Resposta

Como , pelo Teste da Raíz, a série converge.

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