Resolva o problema conceitual: Mostre que se
convegem absolutamente, então,
também converge absolutamente. Dica: use o resultado do problema acima.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. A gente tem duas séries,
e
, e sabe que as duas convergem absolutamente. O objetivo é mostrar que a série
também converge absolutamente. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e usar algumas propriedades das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos,
, também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta garante que a série converge independentemente da ordem dos termos.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série que queremos provar que converge absolutamente:
. Como
é uma constante, podemos fatorar ele para fora da soma:
Passo 4
Para provar que essa série converge absolutamente, vamos olhar para os valores absolutos dos termos:
Passo 5
Aqui entra a desigualdade triangular, que nos diz que:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Sabemos pelo enunciado que
e
convergem, já que as séries originais convergem absolutamente. Como a soma de duas séries convergentes também converge, temos que:
Multiplicando por
, que é uma constante, a série continua convergente.
Resposta
Portanto, a série
converge absolutamente.