Resolva o problema conceitual: Mostre que se sum ak e sum bk convegem absolutamente, então, sum C(ak+bk) também converge absolutamente. Dica: use o resultado do problema acima.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. A gente tem duas séries, sum ak e sum bk, e sabe que as duas convergem absolutamente. O objetivo é mostrar que a série sum C(ak+bk) também converge absolutamente. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e usar algumas propriedades das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série sum xk converge absolutamente se a série dos valores absolutos, sum |xk|, também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta garante que a série converge independentemente da ordem dos termos.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série que queremos provar que converge absolutamente: sum C(ak+bk). Como C é uma constante, podemos fatorar ele para fora da soma:
sum C(ak+bk) = C sum (ak+bk)

Passo 4

Para provar que essa série converge absolutamente, vamos olhar para os valores absolutos dos termos:
sum | C(ak+bk) | = |C| sum | ak+bk |

Passo 5

Aqui entra a desigualdade triangular, que nos diz que:
|ak + bk| <= |ak| + |bk|
Então, podemos escrever:
|C| sum | ak+bk | <= |C| sum ( |ak| + |bk| ) = |C| ( sum |ak| + sum |bk| )

Passo 6

Sabemos pelo enunciado que sum |ak| e sum |bk| convergem, já que as séries originais convergem absolutamente. Como a soma de duas séries convergentes também converge, temos que:
sum |ak| + sum |bk| conver>=
Multiplicando por |C|, que é uma constante, a série continua convergente.

Resposta

Portanto, a série sum C(ak+bk) converge absolutamente.

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