Resolva o problema conceitual: Mostre que se sum ak diverge, então, sum|ak| diverge. Dica: use as Sequências de Somas Parciais.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série que diverge, ou seja, a soma dos seus termos não chega a um valor finito. Queremos mostrar que a série formada pelos valores absolutos desses termos, , também diverge. Para isso, vamos usar o conceito de sequências de somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são somas parciais. Para uma série Sn = a1 + a2 + dots + an = sumk=1^n ak , a soma parcial é definida como:
Se a série converge, então a sequência das somas parciais se aproxima de um número finito quando cresce. Se a série diverge, essa sequência não se aproxima de nenhum valor específico.

Passo 3

Agora, considere a série dos valores absolutos Tn = |a1| + |a2| + dots + |an| = sumk=1^n |ak| . Sua soma parcial é:
Sabemos que se converge, então a série converge absolutamente, o que significa que ela converge independentemente da ordem dos termos. Mas no nosso caso, sabemos que diverge.

Passo 4

Como diverge, isso implica que não pode convergir. Se tivesse uma soma parcial que se aproxima de um valor finito, então também convergiraria, o que é uma contradição com a nossa hipótese inicial.

Resposta

Portanto, se a série diverge, então a série também diverge.

Exercícios relacionados