Resolva o problema conceitual: Mostre que se
diverge, então,
diverge. Dica: use as Sequências de Somas Parciais.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma série
que diverge, ou seja, a soma dos seus termos não chega a um valor finito. Queremos mostrar que a série formada pelos valores absolutos desses termos,
, também diverge. Para isso, vamos usar o conceito de sequências de somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são somas parciais. Para uma série
, a soma parcial
é definida como:
Se a série
converge, então a sequência das somas parciais
se aproxima de um número finito quando
cresce. Se a série diverge, essa sequência não se aproxima de nenhum valor específico.
Passo 3
Agora, considere a série dos valores absolutos
. Sua soma parcial
é:
Sabemos que se
converge, então a série
converge absolutamente, o que significa que ela converge independentemente da ordem dos termos. Mas no nosso caso, sabemos que
diverge.
Passo 4
Como
diverge, isso implica que
não pode convergir. Se
tivesse uma soma parcial que se aproxima de um valor finito, então
também convergiraria, o que é uma contradição com a nossa hipótese inicial.
Resposta
Portanto, se a série
diverge, então a série
também diverge.