Um apreciador deseja adquirir para sua Adega 10 garrafas de vinhos de um lote construído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que escolhidas ao acaso 10 garrafas do lote haja exatamente 4 garrafas da Itália e pelo menos uma garrafa de cada um dos outros países?
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que escolhidas ao acaso 10 garrafas do lote haja exatamente 4 garrafas da Itália e pelo menos uma garrafa de cada um dos outros países?
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício de combinatória juntos! A gente precisa escolher 10 garrafas de um lote que tem 4 da Espanha, 5 da Itália e 6 da França. Vamos usar conceitos de combinações para descobrir de quantas maneiras podemos fazer essas escolhas.
Passo 2
Parte a) Queremos saber de quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote, sem se preocupar de qual país elas vêm.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar o total de garrafas disponíveis. Temos 4 (Espanha) + 5 (Itália) + 6 (França) = 15 garrafas no total.
Passo 4
Agora, queremos selecionar 10 garrafas dentre essas 15. Como a ordem não importa e não há repetição de garrafas, usamos a fórmula de combinação:
Onde:
- $ n $ é o total de itens (15 garrafas)
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos (10 garrafas)
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Calculando os fatoriais:
Passo 7
Então, existem 3.003 maneiras de escolher 10 garrafas desse lote sem restrições.
Passo 8
Parte b) Agora, queremos escolher 10 garrafas com exatamente 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.
Passo 9
Para isso, vamos calcular separadamente as combinações de cada país e depois multiplicar os resultados, já que as escolhas são independentes.
Passo 10
Calculando para cada país:
- Espanha: escolher 2 de 4 garrafas: $ C(4, 2) $
- Itália: escolher 4 de 5 garrafas: $ C(5, 4) $
- França: escolher 4 de 6 garrafas: $ C(6, 4) $
Passo 11
Aplicando a fórmula de combinação:
Passo 12
Multiplicando as combinações:
Passo 13
Então, existem 450 maneiras de escolher 10 garrafas com 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.
Passo 14
Parte c) Queremos a probabilidade de, ao escolhermos 10 garrafas aleatoriamente, termos exatamente 4 da Itália e pelo menos uma de cada um dos outros países.
Passo 15
Primeiro, vamos calcular o número de maneiras favoráveis a esse evento. Precisamos de:
- Exatamente 4 da Itália
- Pelo menos 1 da Espanha
- Pelo menos 1 da França
Passo 16
Como temos 10 garrafas no total e já escolhemos 4 da Itália, restam 6 garrafas a serem escolhidas entre a Espanha e a França, com pelo menos 1 de cada.
Passo 17
Vamos calcular as possíveis distribuições das garrafas da Espanha e da França que somam 6, com pelo menos 1 de cada:
- 1 da Espanha e 5 da França
- 2 da Espanha e 4 da França
- 3 da Espanha e 3 da França
- 4 da Espanha e 2 da França
Passo 18
Para cada uma dessas distribuições, calculamos as combinações:
- 1 Espanha, 5 França:
- 2 Espanha, 4 França:
- 3 Espanha, 3 França:
- 4 Espanha, 2 França:
Passo 19
Somando todas as possibilidades favoráveis:
Passo 20
Agora, calculamos o número total de maneiras de escolher 10 garrafas com exatamente 4 da Itália:
Passo 21
A probabilidade é a razão entre as maneiras favoráveis e as maneiras totais:
Resposta
a) Existem 3.003 maneiras de escolher 10 garrafas.
b) Existem 450 maneiras de escolher 10 garrafas com 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.
c) A probabilidade de escolher 10 garrafas com exatamente 4 da Itália e pelo menos uma de cada um dos outros países é de aproximadamente 6,97%.