Um apreciador deseja adquirir para sua Adega 10 garrafas de vinhos de um lote construído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que escolhidas ao acaso 10 garrafas do lote haja exatamente 4 garrafas da Itália e pelo menos uma garrafa de cada um dos outros países?​

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício de combinatória juntos! A gente precisa escolher 10 garrafas de um lote que tem 4 da Espanha, 5 da Itália e 6 da França. Vamos usar conceitos de combinações para descobrir de quantas maneiras podemos fazer essas escolhas.

Passo 2

Parte a) Queremos saber de quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote, sem se preocupar de qual país elas vêm.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar o total de garrafas disponíveis. Temos 4 (Espanha) + 5 (Itália) + 6 (França) = 15 garrafas no total.

Passo 4

Agora, queremos selecionar 10 garrafas dentre essas 15. Como a ordem não importa e não há repetição de garrafas, usamos a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens (15 garrafas)
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos (10 garrafas)

Passo 5

Aplicando a fórmula:
C(15, 10) = 15!10! times (15 - 10)! = 15!10! times 5!

Passo 6

Calculando os fatoriais:
C(15, 10) = 15 times 14 times 13 times 12 times 115 times 4 times 3 times 2 times 1 = 360360120 = 3003

Passo 7

Então, existem 3.003 maneiras de escolher 10 garrafas desse lote sem restrições.

Passo 8

Parte b) Agora, queremos escolher 10 garrafas com exatamente 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.

Passo 9

Para isso, vamos calcular separadamente as combinações de cada país e depois multiplicar os resultados, já que as escolhas são independentes.

Passo 10

Calculando para cada país:
  • Espanha: escolher 2 de 4 garrafas: $ C(4, 2) $
  • Itália: escolher 4 de 5 garrafas: $ C(5, 4) $
  • França: escolher 4 de 6 garrafas: $ C(6, 4) $

Passo 11

Aplicando a fórmula de combinação:
C(4, 2) = 4!2! times 2! = 6
C(5, 4) = 5!4! times 1! = 5
C(6, 4) = 6!4! times 2! = 15

Passo 12

Multiplicando as combinações:
6 times 5 times 15 = 450

Passo 13

Então, existem 450 maneiras de escolher 10 garrafas com 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.

Passo 14

Parte c) Queremos a probabilidade de, ao escolhermos 10 garrafas aleatoriamente, termos exatamente 4 da Itália e pelo menos uma de cada um dos outros países.

Passo 15

Primeiro, vamos calcular o número de maneiras favoráveis a esse evento. Precisamos de:
  • Exatamente 4 da Itália
  • Pelo menos 1 da Espanha
  • Pelo menos 1 da França

Passo 16

Como temos 10 garrafas no total e já escolhemos 4 da Itália, restam 6 garrafas a serem escolhidas entre a Espanha e a França, com pelo menos 1 de cada.

Passo 17

Vamos calcular as possíveis distribuições das garrafas da Espanha e da França que somam 6, com pelo menos 1 de cada:
  • 1 da Espanha e 5 da França
  • 2 da Espanha e 4 da França
  • 3 da Espanha e 3 da França
  • 4 da Espanha e 2 da França

Passo 18

Para cada uma dessas distribuições, calculamos as combinações:
  1. 1 Espanha, 5 França:
C(4, 1) times C(6, 5) = 4 times 6 = 24
  1. 2 Espanha, 4 França:
C(4, 2) times C(6, 4) = 6 times 15 = 90
  1. 3 Espanha, 3 França:
C(4, 3) times C(6, 3) = 4 times 20 = 80
  1. 4 Espanha, 2 França:
C(4, 4) times C(6, 2) = 1 times 15 = 15

Passo 19

Somando todas as possibilidades favoráveis:
24 + 90 + 80 + 15 = 209

Passo 20

Agora, calculamos o número total de maneiras de escolher 10 garrafas com exatamente 4 da Itália:
C(5, 4) times C(10, 6) = 5 times 210 = 1050

Passo 21

A probabilidade é a razão entre as maneiras favoráveis e as maneiras totais:
P = 2093003 approx 0,0697 ou 6,97%

Resposta

a) Existem 3.003 maneiras de escolher 10 garrafas.
b) Existem 450 maneiras de escolher 10 garrafas com 2 da Espanha, 4 da Itália e 4 da França.
c) A probabilidade de escolher 10 garrafas com exatamente 4 da Itália e pelo menos uma de cada um dos outros países é de aproximadamente 6,97%.

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