Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos oito amigos, incluindo o Carlos, o Timóteo e a Joana, que vão formar uma fila. A pergunta quer saber de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser organizada, desde que o Carlos, o Timóteo e a Joana fiquem sempre juntos.
Para resolver isso, vamos precisar usar princípios de permutação e entender como tratar esses três amigos que devem ficar juntos como um único grupo.

Passo 2

Como queremos que o Carlos, o Timóteo e a Joana fiquem sempre juntos, podemos pensar neles como um bloco único. Assim, em vez de termos 8 pessoas individuais para organizar, teremos:
  • 1 bloco (Carlos, Timóteo e Joana juntos)
  • 5 amigos restantes
No total, temos 6 unidades para organizar na fila.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 6 unidades na fila. Isso é uma permutação simples de 6 elementos, que é calculada por 6 fatorial (escrito como 6!).
6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720
Então, há 720 maneiras de organizar as 6 unidades na fila.

Passo 4

Mas lembre-se, dentro do bloco que temos (Carlos, Timóteo e Joana), eles também podem trocar de lugar entre si. Ou seja, mesmo que o bloco esteja em uma posição fixa na fila, os três podem se rearranjar dentro desse bloco.
O número de maneiras de organizar esses 3 amigos dentro do bloco é uma permutação de 3 elementos, que é 3 fatorial ( 3!).
3! = 3 times 2 times 1 = 6
Então, há 6 maneiras de organizar o Carlos, o Timóteo e a Joana dentro do bloco.

Passo 5

Para encontrar o total de maneiras diferentes de organizar a fila inteira, onde os três amigos sempre ficam juntos, multiplicamos as duas quantidades que calculamos:
720 (maneiras de organizar as 6 unidades) times 6 (maneiras de organizar os 3 dentro do bloco) = 4320

Resposta

O número de diferentes formas que a fila de amigos pode ser formada, mantendo Carlos, Timóteo e Joana sempre juntos, é 4.320.

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