Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica k, que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Resfriamento ao longo do tempo de uma placa plana infinita de espessura L, inicialmente a uma temperatura T0. Uma das faces da placa está isolada e a outra possui temperatura constante igual a T ext .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação da energia (ou equação de condução de calor) e as condições de contorno e inicial para um caso específico. O tema aqui é transferência de calor em materiais sólidos, mais precisamente o resfriamento de uma placa plana infinita ao longo do tempo. Vamos precisar entender a equação de condução de calor e como aplicar as condições dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação da condução de calor para um material com condutividade térmica constante k. A equação geral em uma dimensão é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, T é a temperatura, t é o tempo, x é a posição na placa, e alpha = krho cp é a difusividade térmica do material, onde rho é a densidade e cp é o calor específico à pressão constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. O enunciado diz que uma das faces da placa está isolada, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado por:
partial Tpartial x|x=0 = 0
Isso porque a derivada da temperatura em relação a x representa o fluxo de calor, e se está igual a zero, significa isolamento.

Passo 4

A outra face da placa tem temperatura constante igual a Text. Essa é uma condição de Dirichlet, onde a temperatura é fixa. Então, temos:
T(L, t) = Text
Aqui, L é a espessura da placa, e t é o tempo.

Passo 5

Por fim, precisamos da condição inicial, que nos diz a temperatura da placa no início do processo, ou seja, quando t = 0. De acordo com o enunciado, a placa inicialmente está a temperatura T0. Então:
T(x, 0) = T0

Resposta

A equação da energia e as condições necessárias para o resfriamento da placa são:
Equação da condução de calor:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Condições de contorno:
partial Tpartial x|x=0 = 0 (face isolada)
T(L, t) = Text (face a temperatura constante)
Condição inicial:
T(x, 0) = T0

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