Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica , que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Resfriamento ao longo do tempo de uma placa plana infinita de espessura , inicialmente a uma temperatura . Uma das faces da placa está isolada e a outra possui temperatura constante igual a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação da energia (ou equação de condução de calor) e as condições de contorno e inicial para um caso específico. O tema aqui é transferência de calor em materiais sólidos, mais precisamente o resfriamento de uma placa plana infinita ao longo do tempo. Vamos precisar entender a equação de condução de calor e como aplicar as condições dadas no problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação da condução de calor para um material com condutividade térmica constante . A equação geral em uma dimensão é:
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição na placa, e é a difusividade térmica do material, onde é a densidade e é o calor específico à pressão constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições de contorno. O enunciado diz que uma das faces da placa está isolada, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado por:
Isso porque a derivada da temperatura em relação a representa o fluxo de calor, e se está igual a zero, significa isolamento.
Passo 4
A outra face da placa tem temperatura constante igual a . Essa é uma condição de Dirichlet, onde a temperatura é fixa. Então, temos:
Aqui, é a espessura da placa, e é o tempo.
Passo 5
Por fim, precisamos da condição inicial, que nos diz a temperatura da placa no início do processo, ou seja, quando . De acordo com o enunciado, a placa inicialmente está a temperatura . Então:
Resposta
A equação da energia e as condições necessárias para o resfriamento da placa são: