Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica , que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Aquecimento de uma esfera de raio , inicialmente a uma temperatura , submetida a uma corrente de ar de temperatura e associada a um coeficiente de conveç̧ão .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação da energia para uma esfera que está sendo aquecida. A esfera tem raio e, inicialmente, sua temperatura é . Ela está sendo exposta a um fluxo de ar com temperatura ambiente e há um coeficiente de convecção . A matéria envolve conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção. Para resolver, vamos precisar usar a equação de condução de calor e as condições de contorno relacionadas à convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Condução de Fourier, que descreve como o calor se dirige de regiões mais quentes para mais frias. Para uma esfera, a equação de condução de calor em coordenadas esféricas (sem considerar variações angulares, só radiais) é:
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , é a condutividade térmica, é a densidade do material e é a capacidade térmica específica.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição inicial. No começo (), toda a esfera está na temperatura inicial . Então, temos:
Isso significa que, no instante inicial, a temperatura é uniforme em toda a esfera.
Passo 4
Em seguida, precisamos das condições de contorno. Na superfície da esfera (), o calor é transferido para o ar ambiente por convecção. A Lei de Resfriamento de Newton nos dá essa relação:
Aqui, o fluxo de calor através da superfície é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície da esfera e o ar ambiente, com sendo o coeficiente de convecção.
Passo 5
Resumindo tudo, a equação da energia para esse sistema é a equação de condução de calor em coordenadas esféricas, junto com a condição inicial e a condição de contorno de convecção na superfície.