Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica k, que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Aquecimento de uma esfera de raio R, inicialmente a uma temperatura T0, submetida a uma corrente de ar de temperatura T amb e associada a um coeficiente de conveç̧ão h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação da energia para uma esfera que está sendo aquecida. A esfera tem raio e, inicialmente, sua temperatura é . Ela está sendo exposta a um fluxo de ar com temperatura ambiente e há um coeficiente de convecção . A matéria envolve conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção. Para resolver, vamos precisar usar a equação de condução de calor e as condições de contorno relacionadas à convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Condução de Fourier, que descreve como o calor se dirige de regiões mais quentes para mais frias. Para uma esfera, a equação de condução de calor em coordenadas esféricas (sem considerar variações angulares, só radiais) é:
partial T(r,t)partial t = krho cp ( 2r partial Tpartial r + partial^2 Tpartial r^2 )
Aqui, é a temperatura na posição e no tempo , é a condutividade térmica, é a densidade do material e é a capacidade térmica específica.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição inicial. No começo ( T(r,0) = T0 para todo 0 <= r <= R ), toda a esfera está na temperatura inicial . Então, temos:
Isso significa que, no instante inicial, a temperatura é uniforme em toda a esfera.

Passo 4

Em seguida, precisamos das condições de contorno. Na superfície da esfera ( - k partial Tpartial r |r=R = h ( T(R,t) - Tamb ) ), o calor é transferido para o ar ambiente por convecção. A Lei de Resfriamento de Newton nos dá essa relação:
Aqui, o fluxo de calor através da superfície é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície da esfera e o ar ambiente, com sendo o coeficiente de convecção.

Passo 5

Resumindo tudo, a equação da energia para esse sistema é a equação de condução de calor em coordenadas esféricas, junto com a condição inicial e a condição de contorno de convecção na superfície.

Resposta

A expressão adequada da equação da energia é
partial T(r,t)partial t = krho cp ( 2r partial Tpartial r + partial^2 Tpartial r^2 )
com a condição inicial
T(r,0) = T0 para todo 0 <= r <= R
e a condição de contorno na superfície da esfera
- k partial Tpartial r |r=R = h ( T(R,t) - Tamb )

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