Para apresentar um trabalho um professor sorteará ao acaso um aluno, entre os 30 da turma. O sorteio será feito de acordo com o número da chamada. Qual a probabilidade de o número do aluno sorteado ser:
a) primo ou maior que 10?
b) múltiplo de 7 ou de 5?
c) quadrado perfeito ou divisor de 36?
a) primo ou maior que 10?
b) múltiplo de 7 ou de 5?
c) quadrado perfeito ou divisor de 36?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade onde o professor vai sortear, de forma aleatória, um aluno entre 30 da turma usando o número da chamada. Precisamos descobrir a probabilidade de o número sorteado atender a certas condições. Vamos usar conceitos básicos de contagem e probabilidade para resolver isso.
Passo 2
a) Número primo ou maior que 10
Primeiro, vamos entender o que é número primo: é aquele que tem exatamente dois divisores distintos, 1 e ele mesmo. Agora, vamos listar os números de 1 a 30 que são primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Agora, vamos identificar os números maiores que 10 na turma, ou seja, de 11 a 30. Isso dá 20 números. Porém, já incluímos alguns primos nessa faixa, então precisamos garantir que não estamos contando eles duas vezes.
b) Múltiplo de 7 ou de 5
Aqui, queremos números que são múltiplos de 5 ou de 7. Vamos listar esses múltiplos entre 1 e 30:
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
Múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28.
Note que não há números que são múltiplos de ambos 5 e 7 nessa faixa, então não precisamos se preocupar com duplicatas.
c) Quadrado perfeito ou divisor de 36
Quadrados perfeitos entre 1 e 30 são: 1, 4, 9, 16, 25.
Divisores de 36 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Como estamos considerando números até 30, excluímos o 36.
Agora, vamos juntar esses conjuntos, cuidando para não contar os números que aparecem em ambos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades para cada caso.
a) Número primo ou maior que 10
Total de números primos: 10.
Números maiores que 10: 20.
Números que são primos e maiores que 10: 6 (11, 13, 17, 19, 23, 29).
Usamos a fórmula da união de conjuntos:
Então:
b) Múltiplo de 7 ou de 5
Total de múltiplos de 5: 6.
Total de múltiplos de 7: 4.
Nenhum número é múltiplo de ambos, então:
c) Quadrado perfeito ou divisor de 36
Total de quadrados perfeitos: 5.
Total de divisores de 36 (até 30): 8.
Números que são quadrados perfeitos e divisores de 36: 1, 4, 9.
Então:
Resposta
a) A probabilidade é
;
b) A probabilidade é
;
c) A probabilidade é
.