Aqui está um exemplo simples de uma transformação canônica que ilustra como o formalismo Hamiltoniano permite misturar
s e
s. Considere um sistema com um grau de liberdade e a Hamiltoniana
. As equações de movimento são, naturalmente, as equações usuais de Hamilton
e
. Agora, considere novas coordenadas no espaço de fase definidas como
e
. Mostre que as equações de movimento para as novas coordenadas
e
são
e
, isto é, o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas escolhas de coordenadas, onde fizemos uma permutação dos papéis da posição com o momento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações canônicas dentro do formalismo Hamiltoniano, que é uma forma de descrever sistemas físicos usando coordenadas de posição (
) e momento (
). O objetivo aqui é mostrar que, ao trocar essas coordenadas de uma maneira específica (
e
), as equações de movimento continuam valendo da mesma forma. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações de Hamilton e entender o que é uma transformação canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações de movimento de Hamilton. Para uma Hamiltoniana
, elas são dadas por:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação ao tempo. Essas equações nos dizem como a posição e o momento mudam ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos definir as novas coordenadas do sistema. Segundo o enunciado, temos:
Queremos encontrar as equações de movimento para
e
e mostrar que elas têm a mesma forma que as equações originais de Hamilton.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas temporais de
e
. Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Substituindo as equações de movimento originais de Hamilton nessas expressões, temos:
Passo 6
Agora, vamos expressar as derivadas parciais da Hamiltoniana em termos das novas coordenadas
e
. Como
e
, podemos reescrever:
Passo 7
Substituindo essas expressões nas equações de movimento que obtivemos no Passo 5:
Passo 8
Pronto! Chegamos nas novas equações de movimento para
e
:
Isso mostra que o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas coordenadas, mesmo após trocar posição e momento.
Resposta
As equações de movimento nas novas coordenadas
e
são:
Isso confirma que o formalismo Hamiltoniano funciona da mesma forma após a permutação de posição e momento.