Aqui está um exemplo simples de uma transformação canônica que ilustra como o formalismo Hamiltoniano permite misturar q s e p s. Considere um sistema com um grau de liberdade e a Hamiltoniana H=H(q, p). As equações de movimento são, naturalmente, as equações usuais de Hamilton dotq=partial H / partial p e dotp=-partial H / partial q. Agora, considere novas coordenadas no espaço de fase definidas como Q=p e P=-q. Mostre que as equações de movimento para as novas coordenadas Q e P são dotQ=partial H / partial P e dotP=-partial H / partial Q, isto é, o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas escolhas de coordenadas, onde fizemos uma permutação dos papéis da posição com o momento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações canônicas dentro do formalismo Hamiltoniano, que é uma forma de descrever sistemas físicos usando coordenadas de posição ( q) e momento ( p). O objetivo aqui é mostrar que, ao trocar essas coordenadas de uma maneira específica ( Q = p e P = -q), as equações de movimento continuam valendo da mesma forma. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações de Hamilton e entender o que é uma transformação canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de movimento de Hamilton. Para uma Hamiltoniana H(q, p), elas são dadas por:
dotq = partial Hpartial p
dotp = -partial Hpartial q
Aqui, dotq e dotp representam as derivadas de q e p em relação ao tempo. Essas equações nos dizem como a posição e o momento mudam ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos definir as novas coordenadas do sistema. Segundo o enunciado, temos:
Q = p e P = -q
Queremos encontrar as equações de movimento para Q e P e mostrar que elas têm a mesma forma que as equações originais de Hamilton.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas temporais de Q e P. Primeiro, para Q:
dotQ = dQdt = dpdt = dotp
E para P:
dotP = dPdt = d(-q)dt = -dotq

Passo 5

Substituindo as equações de movimento originais de Hamilton nessas expressões, temos:
dotQ = dotp = -partial Hpartial q
dotP = -dotq = -partial Hpartial p

Passo 6

Agora, vamos expressar as derivadas parciais da Hamiltoniana em termos das novas coordenadas Q e P. Como Q = p e P = -q, podemos reescrever:
partial Hpartial q = partial Hpartial (-P) = -partial Hpartial P
partial Hpartial p = partial Hpartial Q

Passo 7

Substituindo essas expressões nas equações de movimento que obtivemos no Passo 5:
dotQ = -(-partial Hpartial P) = partial Hpartial P
dotP = -partial Hpartial Q

Passo 8

Pronto! Chegamos nas novas equações de movimento para Q e P:
dotQ = partial Hpartial P
dotP = -partial Hpartial Q
Isso mostra que o formalismo Hamiltoniano se aplica igualmente às novas coordenadas, mesmo após trocar posição e momento.

Resposta

As equações de movimento nas novas coordenadas Q = p e P = -q são:
dotQ = partial Hpartial P e dotP = -partial Hpartial Q
Isso confirma que o formalismo Hamiltoniano funciona da mesma forma após a permutação de posição e momento.

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