Aqui está um problema de soma vetorial que não pode ser resolvido diretamente em uma calculadora. Uma amiga se afasta de você em linha reta (vetor A ), muda de direção, caminha novamente em linha reta (vetor B ) e pára. Que distância você deve caminhar em linha reta (vetor C ) para chegar até ela?
Os três vetores (que aparecem na Fig. 3-18) estão relacionados pela equação
C=A+B
O vetor A tem um módulo de 22,0 m e faz um ângulo de -47,0^circ (sentido horário) com o semi-eixo x positivo. O vetor B tem um módulo de 17,0 m e faz um ângulo phi (no sentido anti-horário) com o semi-eixo x positivo. Qual é o módulo de C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre soma vetorial. Você tem uma amiga que se afasta de você numa direção (vetor A), muda de direção e caminha numa segunda direção (vetor B), e então para. Queremos descobrir a distância direta que você precisa caminhar (vetor C) para alcançar ela.
Para resolver isso, vamos usar a geometria dos vetores e a fórmula da soma vetorial:
C = A + B
Vamos precisar:
  • Módulos dos vetores A e B
  • Ângulos que esses vetores fazem com o eixo x
  • Uso das componentes vetoriais para somar os vetores

Passo 2

Primeiro, vamos decompor os vetores A e B nas suas componentes x e y. Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno.
Para o vetor A:
  • Módulo: |A| = 22,0, m
  • Ângulo: -47^circ (sentido horário, então negativo)
As componentes são:
Ax = |A| cdot cos(-47^circ)
Ay = |A| cdot sin(-47^circ)
Para o vetor B:
  • Módulo: |B| = 17,0, m
  • Ângulo: phi (sentido anti-horário)
As componentes são:
Bx = |B| cdot cos(phi)
By = |B| cdot sin(phi)

Passo 3

Agora, somamos as componentes x e y dos vetores A e B para encontrar as componentes do vetor C:
Cx = Ax + Bx = 22,0 cdot cos(-47^circ) + 17,0 cdot cos(phi)
Cy = Ay + By = 22,0 cdot sin(-47^circ) + 17,0 cdot sin(phi)

Passo 4

Para encontrar o módulo de C, usamos o teorema de Pitágoras nas componentes resultantes:
|C| = raizCx^2 + Cy^2
Substituindo as expressões de Cx e Cy:
|C| = raiz (22,0 cdot cos(-47^circ) + 17,0 cdot cos(phi))^2 + (22,0 cdot sin(-47^circ) + 17,0 cdot sin(phi))^2

Passo 5

No entanto, sem o valor de phi, não podemos calcular um número exato para |C|. Se phi for fornecido, substituímos na equação acima e calculamos o valor final usando uma calculadora.

Resposta

O módulo de C é dado por:
|C| = raiz (22,0 cdot cos(-47^circ) + 17,0 cdot cos(phi))^2 + (22,0 cdot sin(-47^circ) + 17,0 cdot sin(phi))^2
Para obter um valor numérico, é necessário conhecer o ângulo phi.

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