Qual é o ângulo phi entre a=3,0 i-4,0 j e b=-2,0 i+3,0 k ?

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pergunta qual é o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar ( a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by + az cdot bz ) dos dois vetores. O produto escalar é dado por:
a cdot b = (3,0)(-2,0) + (-4,0)(0,0) + (0,0)(3,0) = -6,0 + 0,0 + 0,0 = -6,0
Como tem componentes , e (já que não tem componente ), e tem , e , substituindo:

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e |a| = raiz(3,0)^2 + (-4,0)^2 + (0,0)^2 = raiz9,0 + 16,0 + 0,0 = raiz25,0 = 5,0 . A magnitude de um vetor |b| = raiz(-2,0)^2 + (0,0)^2 + (3,0)^2 = raiz4,0 + 0,0 + 9,0 = raiz13,0 approx 3,6056 é dada por:
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo cos phi = a cdot b|a| cdot |b| :
cos phi = -6,05,0 cdot 3,6056 approx -6,018,028 approx -0,3333
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Para encontrar o ângulo phi = arccos(-0,3333) , precisamos usar a função arco cosseno (arccos):
phi approx 109,47^circ
Calculando o arco cosseno de -0,3333:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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