Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma comunicação eficiente. Um satélite está sob orbita no ponto P = (-4, 2, 5) e precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y - 2z + 8 = 0. Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a distância entre um ponto e um plano. Precisamos calcular quão longe o satélite está do plano que representa a superfície da Terra. Para isso, vamos usar uma fórmula matemática que nos dá essa distância diretamente com as coordenadas do ponto e os coeficientes da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Ponto P onde está o satélite: $ P(-4, 2, 5) $
- Equação do plano $ \pi $: $ 2x + y - 2z + 8 = 0 $
Aqui, os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ no plano são $ A = 2 $, $ B = 1 $ e $ C = -2 $, respectivamente, e o termo constante é $ D = 8 $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular a distância ($ d $) de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ a um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
Essa fórmula pega os valores do ponto e os coeficientes do plano, colocando-os na expressão para encontrar a distância perpendicular entre eles.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular o numerador primeiro:
Como estamos tomando o valor absoluto:
Passo 6
Agora, vamos calcular o denominador:
Passo 7
Finalmente, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar a distância:
Resposta
O satélite precisa percorrer aproximadamente $ \frac{8}{3} $ unidades de comprimento para ajustar sua posição em relação ao plano.