Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma comunicação eficiente. Um satélite está sob orbita no ponto P = (-4, 2, 5) e precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y - 2z + 8 = 0. Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a distância entre um ponto e um plano. Precisamos calcular quão longe o satélite está do plano que representa a superfície da Terra. Para isso, vamos usar uma fórmula matemática que nos dá essa distância diretamente com as coordenadas do ponto e os coeficientes da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Ponto P onde está o satélite: $ P(-4, 2, 5) $
  • Equação do plano $ \pi $: $ 2x + y - 2z + 8 = 0 $
Aqui, os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ no plano são $ A = 2 $, $ B = 1 $ e $ C = -2 $, respectivamente, e o termo constante é $ D = 8 $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular a distância ($ d $) de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ a um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
d
Essa fórmula pega os valores do ponto e os coeficientes do plano, colocando-os na expressão para encontrar a distância perpendicular entre eles.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
A = 2, B = 1, C = -2, D = 8
x0 = -4, y0 = 2, z0 = 5
Substituindo na fórmula:
d = |2(-4) + 1(2) - 2(5) + 8|raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
2(-4) = -8
1(2) = 2
-2(5) = -10
-8 + 2 - 10 + 8 = (-8 - 10) + (2 + 8) = -18 + 10 = -8
Como estamos tomando o valor absoluto:
| -8 | = 8

Passo 6

Agora, vamos calcular o denominador:
raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 7

Finalmente, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar a distância:
d = 83 approx 2,67 unidades de comprimento

Resposta

O satélite precisa percorrer aproximadamente $ \frac{8}{3} $ unidades de comprimento para ajustar sua posição em relação ao plano.

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