A área de cada uma das asas de um avião é de . Para uma certa velocidade do ar, este escoa sobre a superfície superior da asa a e sob a superfície inferior a s. (a) Determine a massa do avião. Admita que o avião se desloque com velocidade constante e que os efeitos de sustentação associados à fuselagem do avião e à sua cauda sejam desprezíveis. Discuta a sustentação se o avião, voando a uma mesma velocidade, estiver (b) se deslocando na horizontal, © subindo com inclinação de , e (d) descendo com inclinação de . A massa específica do ar é de 1,17 . Veja o Exercício 23.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um avião com asas de área cada, e o ar está fluindo a velocidades diferentes em cima e embaixo das asas. Precisamos descobrir a massa do avião usando conceitos de sustentação e dinâmica de fluidos. Para isso, vamos usar a densidade do ar e aplicar a equação de Bernoulli para calcular a força de sustentação que equilibra o peso do avião.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força de sustentação ( ) gerada pelas asas. A sustentação é a força que mantém o avião no ar e é igual ao peso quando o avião está voando com velocidade constante. Usamos a seguinte fórmula baseada no Princípio de Bernoulli:
Onde:
  • é a densidade do ar ( ),
  • é a área da asa ( ),
  • é a velocidade do ar sob a asa ( ),
  • é a velocidade do ar sobre a asa ( ).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula para calcular :
Primeiro, calculamos e :
Agora, a diferença entre elas:

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula:
O sinal negativo indica que a força de sustentação está direcionada para cima, o que faz sentido.

Passo 5

Agora, sabemos que a força de sustentação deve equilibrar o peso do avião para que ele se mova com velocidade constante. Então:
Onde:
  • é a massa do avião,
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Então, podemos isolar :

Passo 6

Vamos calcular a massa:

Passo 7

Agora, vamos discutir a sustentação em diferentes condições de voo:
(b) Deslocando na horizontal:
Quando o avião voa na horizontal, a sustentação deve igualar exatamente o peso do avião para manter o voo nivelado. Isso significa que a diferença nas velocidades do ar em cima e embaixo das asas está equilibrada para manter .
© Subindo com inclinação de :
Ao subir, além de equilibrar o peso, a sustentação precisa também fornecer uma componente adicional para vencer a força gravitacional na direção da subida. Isso geralmente requer um aumento na força de sustentação, o que pode ser alcançado aumentando a velocidade ou o ângulo de ataque das asas.
(d) Descendo com inclinação de :
Durante a descida, a sustentação não precisa ser tão grande quanto o peso total, pois parte do peso é compensada pela força de gravidade na direção da descida. Isso significa que a diferença nas velocidades do ar pode ser menor, resultando em uma força de sustentação menor que o peso total, permitindo que o avião desça.

Resposta

A massa do avião é de aproximadamente .

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