Se S é a área superficial (em m^2 ) do corpo humano, então a formula que dá um valor aproximado para S é:
S=2 cdot W^0,4 cdot H^0,7
Onde: H(em m ) é a altura e W (em kg) é a massa.
Se W =70 kg e H =1,80 m, achar partial Spartial W e partial Spartial H. Interpretar os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona a área superficial do corpo humano com a massa e a altura . O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais, que são usadas para ver como uma função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo as outras constantes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois interpretar o que esses resultados significam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que nos dá a área superficial:
S = 2 cdot W^0,4 cdot H^0,7
Aqui, é a massa em kg e é a altura em metros.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial Spartial W = 2 cdot 0,4 cdot W^0,4 - 1 cdot H^0,7 = 2 cdot 0,4 cdot W^-0,6 cdot H^0,7 em relação a partial Spartial W = 0,8 cdot W^-0,6 cdot H^0,7 , que é . Para isso, tratamos como uma constante.
Usamos a regra do poder para derivar :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Spartial H = 2 cdot W^0,4 cdot 0,7 cdot H^0,7 - 1 = 2 cdot 0,7 cdot W^0,4 cdot H^-0,3 em relação a partial Spartial H = 1,4 cdot W^0,4 cdot H^-0,3 , que é . Aqui, é considerado constante.
Novamente, aplicamos a regra do poder para :
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos substituir os valores partial Spartial W = 0,8 cdot 70^-0,6 cdot (1,80)^0,7 kg e partial Spartial W approx 0,8 cdot 0,0352 cdot 1,517 approx 0,0428 , m^2/kg m nas derivadas que encontramos para calcular os valores numéricos.
Primeiro, para partial Spartial H = 1,4 cdot 70^0,4 cdot (1,80)^-0,3 :
partial Spartial H approx 1,4 cdot 3,017 cdot 0,813 approx 3,44 , m^2/m
Calculando cada parte:
Então:
Agora, para :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Vamos interpretar esses resultados!
  • : Isso significa que, para cada aumento de 1 kg na massa, a área superficial aumenta aproximadamente , mantendo a altura constante.
  • : Isso indica que, para cada aumento de 1 metro na altura, a área superficial aumenta aproximadamente , mantendo a massa constante.

Resposta

As derivadas parciais avaliadas em partial Spartial W approx 0,0428 , m^2/kg kg e partial Spartial H approx 3,44 , m^2/m m são:

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