A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto c (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva. Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Basicamente, a gente tem um poste com uma mangueira de iluminação presa a uma altura de 3 metros. Essa mangueira vai até pontos distribuídos igualmente ao redor de uma circunferência no chão, dividindo ela em 20 arcos iguais. A gente sabe que vai usar exatamente 100 metros de mangueira. O objetivo é descobrir qual deve ser o raio dessa circunferência.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria, mais especificamente sobre circunferências e triângulos retângulos. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que o poste está no centro da circunferência. A mangueira vai do ponto alto do poste (3 metros de altura) até um ponto na circunferência no chão. Cada mangueira forma a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde:
- Um cateto é a altura do poste (3 metros).
- O outro cateto é o raio da circunferência que queremos encontrar.
- A hipotenusa é o comprimento da mangueira.
Passo 3
Sabemos que o comprimento total das mangueiras é de 100 metros e que são 20 mangueiras iguais. Então, o comprimento de cada mangueira é:
Portanto, cada mangueira tem 5 metros de comprimento.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo. O Teorema de Pitágoras diz que:
No nosso caso:
Onde $ r $ é o raio que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos resolver a equação passo a passo:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Para encontrar $ r $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O raio da circunferência deve ser de 4 metros.