Assinale a alternativa que contenha ∫x^2 e^x dx.
A:∫x^2 e^x dx=2xe^x+C
B:∫x^2 e^x dx=x^2 ex-2xex+2e^x+C
C:C ∫x^2 e^x dx=x^2 ex-2xex-2e^x+C
D: ∫x^2 e^x dx=x3-2xe2-2x^e+C
E: ∫x^2 e^x dx=ex-2xex-2x^e+C

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2 e^x , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, precisamos identificar funções que serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, escolhemos u = x^2 e dv = e^x , dx. Agora, precisamos encontrar du e v:
du = 2x , dx
v = integral e^x , dx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral 2x e^x , dx. Vamos novamente usar integração por partes. Desta vez, escolhemos u = 2x e dv = e^x , dx:
du = 2 , dx
v = integral e^x , dx = e^x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes para essa nova integral:
integral 2x e^x , dx = 2x e^x - integral e^x cdot 2 , dx = 2x e^x - 2e^x + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C

Resposta

A alternativa correta é:
B: integral x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C

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