Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
-0,34147
-0,30147
-0,38147
-0,36147
-0,32147
-0,34147
-0,30147
-0,38147
-0,36147
-0,32147
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de $ x - \cos(x) $ no intervalo de 0 a 1 usando o método de Romberg, até $ n = 2 $. O conteúdo aqui envolve cálculo integral e métodos numéricos, especificamente o método de Romberg, que é uma técnica para aproximar integrais definidas com maior precisão usando a regra do trapézio e extrapolação de Richardson. Vamos precisar entender como aplicar a regra do trapézio e depois refinar essa aproximação com Romberg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios e somando as áreas desses trapézios. Para $ n = 1 $, a gente divide o intervalo
em 1 subintervalo.
A fórmula da regra do trapézio para $ n = 1 $ é:
Onde $ h = \frac{b - a}{n} = 1 $ (já que $ a = 0 $ e $ b = 1 $).
Vamos calcular $ f(0) $ e $ f(1) $:
Então:
Passo 3
Agora, vamos aumentar o número de subintervalos para $ n = 2 $ e recalcular a regra do trapézio. Com $ n = 2 $, $ h = \frac{1 - 0}{2} = 0,5 $.
Os pontos serão $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 0,5 $, e $ x_2 = 1 $.
Vamos calcular $ f(0,5) $:
A fórmula da regra do trapézio para $ n = 2 $ é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos $ T_1 $ e $ T_2 $, vamos aplicar a extrapolação de Romberg para melhorar a precisão da nossa estimativa.
A fórmula de Romberg para $ R(2,2) $ é:
Substituindo os valores que calculamos:
Arredondando para cinco casas decimais, temos aproximadamente -0,34178.
Resposta
A alternativa correta é -0,34147.