A Associação de Produtores de Queijo Canastra do estado de Minas Gerais deseja saber o teor de gordura médio dos queijos produzidos por seus associados. Para tanto, coletou uma amostra de 10 queijos que indicaram o seguinte percentual médio de gordura: 25, 5 ; 21,3 ; 22,8 ; 17 ; 29,8 ; 21 ; 25,2 ; 16 ; 20,9 e 19,5. Com base nestes dados construa um intervalo de confiança para o teor de gordura médio dos queijos produzidos pelos associados da Associação de Produtores de Queijo Canastra com um nível de 95% de confiança.

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir o intervalo de confiança para o teor de gordura médio dos queijos produzidos pelos associados da Associação de Produtores de Queijo Canastra, com 95% de confiança. Isso faz parte da estatística, especificamente envolvendo cálculos de média, desvio padrão e intervalo de confiança usando a distribuição t de Student. Para resolver, vamos precisar dos dados da amostra, calcular a média, o desvio padrão e então usar a fórmula de intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média representa o valor central dos dados. Para isso, somamos todos os percentuais de gordura e dividimos pelo número de queijos.
Média (barx) = 25,5 + 21,3 + 22,8 + 17 + 29,8 + 21 + 25,2 + 16 + 20,9 + 19,510 = 21910 = 21,9 é
Então, a média é 21,9%.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que mostra o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula para o desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(25,5 - 21,9)^2 &= 12,96 (21,3 - 21,9)^2 &= 0,36 (22,8 - 21,9)^2 &= 0,81 (17 - 21,9)^2 &= 24,01 (29,8 - 21,9)^2 &= 62,41 (21 - 21,9)^2 &= 0,81 (25,2 - 21,9)^2 &= 10,89 (16 - 21,9)^2 &= 34,81 (20,9 - 21,9)^2 &= 1,00 (19,5 - 21,9)^2 &= 5,76
Somando tudo:
sum (xi - barx)^2 = 153,82
Agora, calculamos o desvio padrão:
s = raiz153,8210 - 1 = raiz153,829 approx raiz17,0978 approx 4,133
Então, o desvio padrão é aproximadamente 4,133%.

Passo 4

Como a amostra é pequena (n = 10), usamos a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico. Com um nível de confiança de 95% e 9 graus de liberdade (n - 1), consultamos a tabela t e encontramos que o valor crítico $ t_{\alpha/2} $ é aproximadamente 2,262.

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro usando a fórmula:
Mar>=m de Erro = talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
Mar>=m de Erro = 2,262 times 4,133raiz10 approx 2,262 times 1,305 approx 2,952
Então, a margem de erro é aproximadamente 2,952%.

Passo 6

Por fim, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média:
barx pm Mar>=m de Erro = 21,9 pm 2,952
Isso resulta em:
18,948 <= mu <= 24,852

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o teor de gordura médio dos queijos é entre 18,95% e 24,85%.

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