Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas, seis homens e quatro mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre formar uma comissão a partir de uma diretoria que tem 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes podemos montar uma comissão que tenha exatamente 3 homens e 2 mulheres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, que nos ajudam a calcular o número de maneiras de selecionar grupos sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos 6 homens da diretoria. Queremos escolher 3 deles para a comissão. Para isso, usamos a fórmula de combinação, que é:
Aqui, $ n = 6 $ (total de homens) e $ k = 3 $ (homens que queremos na comissão). Então:
Calculando:
Portanto, temos 20 maneiras de escolher 3 homens.
Passo 3
Agora, vamos com as 4 mulheres da diretoria. Precisamos selecionar 2 delas para a comissão. Usamos a mesma fórmula de combinação:
Aqui, $ n = 4 $ (total de mulheres) e $ k = 2 $ (mulheres que queremos na comissão). Então:
Calculando:
Assim, temos 6 maneiras de escolher 2 mulheres.
Passo 4
Para saber o total de maneiras de formar a comissão com 3 homens e 2 mulheres, multiplicamos as duas combinações que encontramos:
Resposta
Existem 120 maneiras diferentes de formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres a partir dessa diretoria.