Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas, seis homens e quatro mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre formar uma comissão a partir de uma diretoria que tem 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes podemos montar uma comissão que tenha exatamente 3 homens e 2 mulheres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, que nos ajudam a calcular o número de maneiras de selecionar grupos sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos 6 homens da diretoria. Queremos escolher 3 deles para a comissão. Para isso, usamos a fórmula de combinação, que é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Aqui, $ n = 6 $ (total de homens) e $ k = 3 $ (homens que queremos na comissão). Então:
n = 6
Calculando:
k = 3
C(6, 3) = 6!3! times (6 - 3)! = 6!3! times 3!
Portanto, temos 20 maneiras de escolher 3 homens.

Passo 3

Agora, vamos com as 4 mulheres da diretoria. Precisamos selecionar 2 delas para a comissão. Usamos a mesma fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Aqui, $ n = 4 $ (total de mulheres) e $ k = 2 $ (mulheres que queremos na comissão). Então:
n = 4
Calculando:
k = 2
C(4, 2) = 4!2! times (4 - 2)! = 4!2! times 2!
Assim, temos 6 maneiras de escolher 2 mulheres.

Passo 4

Para saber o total de maneiras de formar a comissão com 3 homens e 2 mulheres, multiplicamos as duas combinações que encontramos:
20 , (maneiras de escolher homens) times 6 , (maneiras de escolher mulheres) = 120

Resposta

Existem 120 maneiras diferentes de formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres a partir dessa diretoria.

Exercícios relacionados