Assuma que uma distribuição de Bernoulli tenha dois possíveis resultados n = 0 e n = 1, no qual n = 1 (sucesso) ocorre com probabilidade p, e n = 0 (falha) ocorre com probabilidade q = 1 - p. Sendo 0 < p < 1, a função densidade de probabilidade é:
P(n)={q para n=1, p para n=0} P(n)={0 para p=1, 1 para (1−p)=q=1} P(n)=∫p n q (1−p) (1−n) q P(n)=e n p q P(n)=p n (1−p)^{1−n}

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre a distribuição de Bernoulli. Basicamente, essa distribuição descreve um experimento que tem só dois resultados possíveis: sucesso (n = 1) com probabilidade p e falha (n = 0) com probabilidade q = 1 - p. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como funciona a função de probabilidade dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade de probabilidade para distribuições discretas, como a Bernoulli. Ela nos diz a probabilidade de cada resultado possível. No caso da Bernoulli, temos apenas dois resultados: 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada no enunciado. Ela apresenta várias formas, mas a correta para a distribuição de Bernoulli é:
P(n) = p^n (1 - p)^1 - n
Isso porque:
  • Quando n = 1 (sucesso), a fórmula fica $ p^1 (1 - p)^{0} = p $
  • Quando n = 0 (falha), a fórmula fica $ p^0 (1 - p)^{1} = 1 - p $

Passo 4

Vamos entender por que essa fórmula funciona. A expressão $ p^n $ assegura que quando temos um sucesso (n = 1), a probabilidade é multiplicada por p, e quando não temos sucesso (n = 0), esse termo se torna 1 (já que qualquer número elevado a 0 é 1). Já $ (1 - p)^{1 - n} $ faz o oposto: quando n = 0, a probabilidade de falha é considerada, e quando n = 1, esse termo se torna 1.

Passo 5

Comparando com as outras formas apresentadas no enunciado:
  • P(n) = { q para n=1, p para n=0 } está invertido. Deveria ser p para n=1 e q para n=0.
  • P(n) = { 0 para p=1, 1 para (1−p)=q=1 } não faz sentido na distribuição Bernoulli padrão.
  • P(n) = ∫p n q (1−p) (1−n) q e P(n) = e n p q não são formas corretas para a função de probabilidade da Bernoulli.

Resposta

A função de densidade de probabilidade correta para a distribuição de Bernoulli é:
P(n) = p^n (1 - p)^1 - n

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